Week 6 Lab — Advising NatureScot on the Tay beavers

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Week%206%20Lab%20%E2%80%94%20Advising%20NatureScot%20on%20the%20Tay%20beavers%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%206%20lab%20%E2%80%94%20Advising%20NatureScot%20on%20the%20Tay%20beavers%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Your%20brief.**%20In%20this%20lab%20you%20are%20a%20modeller%20advising%20NatureScot.%20Beavers%20are%20a%20protected%20species%2C%20but%20where%20they%20damage%20farmland%20NatureScot%20licenses%20their%20removal%3A%20since%202019%20about%20100%20beavers%20a%20year%20in%20Scotland%20have%20been%20trapped%20and%20moved%20elsewhere%2C%20or%20killed%20%5B5%2C%206%5D.%20NatureScot%20has%20to%20make%20sure%20that%20it%20is%20not%20removing%20too%20many%2C%20so%20that%20the%20population%20stays%20safe.%20Your%20job%20is%20to%20tell%20them%20whether%20about%20100%20a%20year%20is%20safe%2C%20and%20how%20many%20would%20be%20too%20many.%0A%0A%20%20%20%20To%20answer%2C%20you%20need%20a%20model%20of%20how%20the%20beavers%20grow%2C%20and%20its%20two%20numbers%3A%20the%20growth%20rate%20%24%5Calpha%24%20and%20the%20carrying%20capacity%20%24M%24.%20The%20first%20four%20exercises%20are%20warm-ups%20that%20build%20these%2C%20and%20they%20follow%20the%20lecture%20closely.%20Aim%20to%20finish%20them%20in%20about%20half%20an%20hour%2C%20then%20move%20on%20to%20the%20main%20task.%0A%0A%20%20%20%20**Warm-ups**%0A%0A%20%20%20%200.%20functions%3B%0A%20%20%20%201.%20the%20growth%20rate%20%24%5Calpha%24%20from%20the%20surveys%2C%20and%20how%20sure%20we%20are%20of%20it%3B%0A%20%20%20%202.%20which%20%24M%24%20fit%20the%20surveys%2C%20and%20your%20forecast%20for%20the%202025%20survey%3B%0A%20%20%20%203.%20equilibria%20and%20stability%3A%20how%20fast%20the%20beavers%20recover%20from%20a%20one-off%20loss.%0A%0A%20%20%20%20**The%20main%20task**%0A%0A%20%20%20%204.%20removing%20beavers%20every%20year%3A%20how%20many%20can%20the%20Tay%20population%20take%2C%20and%20what%20do%20you%20advise%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20data%20and%20the%20three%20functions%20from%20the%20lecture%2C%20unchanged.%20Time%20%24t%24%20is%20in%20years%20since%20the%202012%20survey.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20survey_t%20%3D%20np.array(%5B0.0%2C%205.5%2C%208.5%5D)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20years%20since%20the%202012%20survey%0A%20%20%20%20survey_N%20%3D%20np.array(%5B146%2C%20433%2C%20954%5D)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20best%20estimate%20of%20the%20number%20of%20beavers%0A%20%20%20%20survey_low%20%3D%20np.array(%5B106%2C%20319%2C%20602%5D)%20%20%20%20%20%20%20%23%20lowest%20estimate%20in%20the%20report%0A%20%20%20%20survey_high%20%3D%20np.array(%5B187%2C%20547%2C%201381%5D)%20%20%20%20%20%23%20highest%20estimate%20in%20the%20report%0A%0A%20%20%20%20def%20growth_rate(N_start%2C%20N_end%2C%20years)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.log(N_end%20%2F%20N_start)%20%2F%20years%20%20%20%20%23%20equation%20(5.2)%2C%20solved%20for%20alpha%0A%0A%20%20%20%20def%20follow_arrows(f%2C%20t_start%2C%20y_start%2C%20t_stop%2C%20n_steps%3D2000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Trace%20a%20solution%20curve%3A%20take%20a%20tiny%20step%20along%20the%20arrow%2C%20then%20look%20again.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h%20%3D%20(t_stop%20-%20t_start)%20%2F%20n_steps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_values%20%3D%20%5Bt_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_values%20%3D%20%5By_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20step%20in%20range(n_steps)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_now%20%3D%20t_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_now%20%3D%20y_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_values.append(t_now%20%2B%20h)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_values.append(y_now%20%2B%20h%20*%20f(t_now%2C%20y_now))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(t_values)%2C%20np.array(y_values)%0A%0A%20%20%20%20def%20logistic_formula(t%2C%20N0%2C%20alpha%2C%20M)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20M%20*%20N0%20%2F%20((M%20-%20N0)%20*%20np.exp(-alpha%20*%20t)%20%2B%20N0)%20%20%20%20%23%20equation%20(5.5)%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20follow_arrows%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20growth_rate%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20logistic_formula%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20survey_N%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20survey_high%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20survey_low%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20survey_t%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Warm-up%200%20%E2%80%94%20functions%0A%0A%20%20%20%20**Predict**%20what%20each%20of%20the%20next%20two%20cells%20shows%2C%20then%20run%20them.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20percent_per_year(alpha)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20100%20*%20(np.exp(alpha)%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20percent_per_year(0.26)%0A%20%20%20%20return%20(percent_per_year%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(percent_per_year)%3A%0A%20%20%20%20x_percent%20%3D%20percent_per_year(0.2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20shows%20about%2029.7%3A%20the%20last%20line%20is%20a%20value%2C%20and%20a%20cell%20shows%20the%20value%20of%20its%20last%20line.%20The%20second%20shows%20**nothing**%3A%20its%20last%20line%20is%20an%20assignment%2C%20which%20stores%20the%20value%20in%20%60x_percent%60%20without%20showing%20it.%20Add%20a%20line%20with%20just%20%60x_percent%60%20(or%20%60print(x_percent)%60)%20to%20see%20it%2C%2022.1.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20A%20population%20growing%20at%20rate%20%24%5Calpha%24%20doubles%20in%20a%20fixed%20time%2C%20whatever%20its%20size.%20**On%20paper%20first%3A**%20using%20(5.2)%2C%20%24N(t)%20%3D%20N_0%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%24%2C%20find%20the%20time%20%24t%24%20at%20which%20%24N%20%3D%202N_0%24.%20Then%20replace%20the%20placeholder%20so%20that%20%60doubling_time%60%20returns%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20def%20doubling_time(alpha)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%0A%0A%20%20%20%20print(%22doubling%20time%20at%20alpha%20%3D%200.26%3A%22%2C%20doubling_time(0.26)%2C%20%22years%22)%0A%20%20%20%20return%20(doubling_time%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(doubling_time%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_ok%20%3D%20abs(doubling_time(0.26)%20-%20np.log(2)%20%2F%200.26)%20%3C%201e-9%20and%20abs(doubling_time(0.1)%20-%20np.log(2)%20%2F%200.1)%20%3C%201e-9%0A%20%20%20%20mo.md(%22-%20doubling%20time%3A%20%22%20%2B%20(%22%E2%9C%93%22%20if%20_ok%20else%20%22not%20yet%22))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Warm-up%201%20%E2%80%94%20the%20growth%20rate%2C%20and%20how%20sure%20we%20are%20of%20it%0A%0A%20%20%20%20Your%20advice%20will%20depend%20on%20how%20fast%20the%20beavers%20can%20replace%20the%20ones%20that%20are%20removed%3A%20that%20is%20%24%5Calpha%24.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(a).**%20Using%20%60growth_rate%60%20and%20positions%20in%20%60survey_N%60%20and%20%60survey_t%60%2C%20compute%20%24%5Calpha%24%20for%202012%20to%202017%2F18%20and%20for%202017%2F18%20to%202020%2F21.%20Don't%20type%20the%20numbers%20in%20yourself.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20alpha_early%20%3D%200.0%20%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%3A%202012%20to%202017%2F18%0A%20%20%20%20alpha_recent%20%3D%200.0%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%3A%202017%2F18%20to%202020%2F21%0A%20%20%20%20print(%22alpha_early%3A%20%22%2C%20alpha_early)%0A%20%20%20%20print(%22alpha_recent%3A%22%2C%20alpha_recent)%0A%20%20%20%20return%20alpha_early%2C%20alpha_recent%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alpha_early%2C%20alpha_recent%2C%20growth_rate%2C%20mo%2C%20survey_N%2C%20survey_t)%3A%0A%20%20%20%20_ok_e%20%3D%20abs(alpha_early%20-%20growth_rate(survey_N%5B0%5D%2C%20survey_N%5B1%5D%2C%20survey_t%5B1%5D%20-%20survey_t%5B0%5D))%20%3C%201e-9%0A%20%20%20%20_ok_r%20%3D%20abs(alpha_recent%20-%20growth_rate(survey_N%5B1%5D%2C%20survey_N%5B2%5D%2C%20survey_t%5B2%5D%20-%20survey_t%5B1%5D))%20%3C%201e-9%0A%20%20%20%20mo.md(f%22-%20alpha_early%3A%20%7B'%E2%9C%93'%20if%20_ok_e%20else%20'not%20yet'%7D%5Cn-%20alpha_recent%3A%20%7B'%E2%9C%93'%20if%20_ok_r%20else%20'not%20yet'%7D%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Each%20survey%20is%20a%20best%20estimate%20inside%20a%20range.%20The%20slowest%20growth%20between%20the%20last%20two%20surveys%20that%20the%20ranges%20allow%20is%20from%20the%20*top*%20of%20the%202017%2F18%20range%20to%20the%20*bottom*%20of%20the%202020%2F21%20range.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b).**%20Compute%20that%20slowest%20%24%5Calpha%24%2C%20and%20the%20fastest%20one%20the%20ranges%20allow.%20Use%20%60survey_low%60%20and%20%60survey_high%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20alpha_recent_slowest%20%3D%200.0%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%0A%20%20%20%20alpha_recent_fastest%20%3D%200.0%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%0A%20%20%20%20print(%22slowest%3A%22%2C%20alpha_recent_slowest)%0A%20%20%20%20print(%22fastest%3A%22%2C%20alpha_recent_fastest)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%0A%0A%20%20%20%20%24%5Calpha%20%5Capprox%200.198%24%20for%202012%20to%202017%2F18%20and%20%240.263%24%20for%202017%2F18%20to%202020%2F21.%20The%20ranges%20allow%20anything%20from%20about%20%240.03%24%20(%60growth_rate(survey_high%5B1%5D%2C%20survey_low%5B2%5D%2C%203)%60)%20to%20%240.49%24%20(%60growth_rate(survey_low%5B1%5D%2C%20survey_high%5B2%5D%2C%203)%60)%20for%20the%20recent%20interval%3A%20from%203%25%20a%20year%20to%2063%25%20a%20year.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%201.%20In%20the%20logistic%20model%20the%20growth%20rate%20per%20beaver%2C%20%24%5Calpha(1%20-%20N%2FM)%24%2C%20goes%20*down*%20as%20%24N%24%20grows.%20The%20best%20estimates%20went%20*up*%2C%20from%200.198%20to%200.263.%20Does%20that%20mean%20the%20logistic%20model%20is%20wrong%3F%20Use%20your%20answer%20to%20(b).%0A%20%20%20%202.%20Suggest%20two%20other%20reasons%20why%20the%20measured%20rate%20might%20go%20up%20between%20surveys.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%20(open%20after%20you%20have%20discussed%20them)%0A%0A%20%20%20%201.%20Not%20necessarily.%20The%20ranges%20are%20so%20wide%20that%20the%20recent%20rate%20could%20be%20anywhere%20from%200.03%20to%200.49%2C%20so%20the%20surveys%20can't%20tell%20us%20whether%20the%20rate%20really%20went%20up.%0A%20%20%20%202.%20For%20example%3A%20the%20later%20surveys%20covered%20more%20ground%20as%20the%20beavers%20spread%2C%20so%20they%20may%20have%20found%20a%20larger%20share%20of%20the%20animals%3B%20or%20the%20population%20really%20did%20grow%20faster%20later%20on.%20A%20very%20small%20population%20can%20grow%20slowly%20because%20animals%20struggle%20to%20find%20mates%3B%20the%20exercise%20at%20the%20end%20of%20Section%205.6%20is%20a%20model%20of%20exactly%20that.%20Licensed%20removals%2C%20which%20started%20in%202019%2C%20would%20slow%20the%20growth%20down%2C%20so%20they%20make%20the%20rise%20more%20surprising%2C%20not%20less.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Warm-up%202%20%E2%80%94%20fitting%20the%20logistic%20model%20by%20eye%0A%0A%20%20%20%20It%20will%20also%20depend%20on%20how%20many%20beavers%20the%20Tay%20can%20hold%3A%20that%20is%20%24M%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20lecture%20we%20kept%20%24%5Calpha%20%3D%200.26%24%20and%20changed%20%24M%24.%20Now%20change%20both.%20The%20curve%20starts%20at%20the%202012%20estimate%2C%20146.%20A%20survey%20point%20turns%20red%20when%20the%20curve%20misses%20its%20range.%20The%20hollow%20circle%20is%20the%20curve's%20forecast%20for%20the%202025%20survey.%0A%0A%20%20%20%20**Before%20you%20start%3A**%20if%20you%20make%20%24%5Calpha%24%20bigger%2C%20do%20you%20expect%20the%20%24M%24%20that%20fits%20to%20get%20bigger%20or%20smaller%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20alpha_fit_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.15%2C%200.55%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.26%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Growth%20rate%20%24%5Calpha%24%22)%0A%20%20%20%20M_fit_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3D%5B600%2C%20650%2C%20700%2C%20750%2C%20800%2C%20900%2C%201000%2C%201250%2C%201500%2C%201750%2C%202000%2C%202500%2C%203000%2C%203500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%204000%2C%205000%2C%206000%2C%208000%2C%2010000%2C%2020000%2C%2050000%2C%20100000%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D3000%2C%20show_value%3DTrue%2C%20label%3Dr%22Carrying%20capacity%20%24M%24%22)%0A%20%20%20%20return%20M_fit_slider%2C%20alpha_fit_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20M_fit_slider%2C%0A%20%20%20%20alpha_fit_slider%2C%0A%20%20%20%20logistic_formula%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20survey_N%2C%0A%20%20%20%20survey_high%2C%0A%20%20%20%20survey_low%2C%0A%20%20%20%20survey_t%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_alpha%20%3D%20alpha_fit_slider.value%0A%20%20%20%20_M%20%3D%20M_fit_slider.value%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.linspace(0%2C%2023%2C%20500)%0A%20%20%20%20_N_surveys%20%3D%20logistic_formula(survey_t%2C%20146.0%2C%20_alpha%2C%20_M)%0A%20%20%20%20_inside%20%3D%20(_N_surveys%20%3E%3D%20survey_low)%20%26%20(_N_surveys%20%3C%3D%20survey_high)%0A%20%20%20%20_N_2025%20%3D%20logistic_formula(13.5%2C%20146.0%2C%20_alpha%2C%20_M)%0A%0A%20%20%20%20_fig_f%2C%20_ax_f%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204.8))%0A%20%20%20%20_err%20%3D%20np.array(%5Bsurvey_N%20-%20survey_low%2C%20survey_high%20-%20survey_N%5D)%0A%20%20%20%20_ax_f.plot(2012%20%2B%20_t%2C%20logistic_formula(_t%2C%20146.0%2C%20_alpha%2C%20_M)%2C%20color%3D%22%231e8449%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20if%20_M%20%3C%3D%206000%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_f.axhline(_M%2C%20color%3D%22%231e8449%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_col%20%3D%20%22%231a5276%22%20if%20_inside%5B_i%5D%20else%20%22%23922b21%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_f.errorbar(2012%20%2B%20survey_t%5B_i%5D%2C%20survey_N%5B_i%5D%2C%20yerr%3D_err%5B%3A%2C%20_i%3A_i%20%2B%201%5D%2C%20fmt%3D%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_col%2C%20markersize%3D9%2C%20capsize%3D6%2C%20linewidth%3D2%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_ax_f.plot(2012%20%2B%2013.5%2C%20_N_2025%2C%20%22o%22%2C%20markersize%3D12%2C%20markerfacecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D%22%231e8449%22%2C%20markeredgewidth%3D2.5%2C%20zorder%3D6)%0A%20%20%20%20_ax_f.text(2012%20%2B%2013.5%2C%20_N_2025%20%2B%20250%2C%20f%222025%3A%20%7B_N_2025%3A.0f%7D%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%231e8449%22)%0A%20%20%20%20_ax_f.set_xlim(2011%2C%202035)%0A%20%20%20%20_ax_f.set_ylim(0%2C%205000)%0A%20%20%20%20_ax_f.set_xlabel(%22year%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_f.set_ylabel(%22beavers%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_verdict%20%3D%20%22inside%20all%20three%20ranges%22%20if%20_inside.all()%20else%20f%22misses%20%7B3%20-%20_inside.sum()%7D%20of%20the%203%20ranges%22%0A%20%20%20%20_ax_f.set_title(rf%22%24%5Calpha%20%3D%20%7B_alpha%3A.2f%7D%24%2C%20%24M%20%3D%20%7B_M%7D%24%3A%20%7B_verdict%7D%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_f.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig_f.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Balpha_fit_slider%2C%20M_fit_slider%2C%20_fig_f%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Task%20(a).**%20Find%20three%20pairs%20%24(%5Calpha%2C%20M)%24%20that%20pass%20through%20all%20three%20ranges%2C%20as%20different%20from%20each%20other%20as%20you%20can%3A%20try%20a%20small%20%24%5Calpha%24%2C%20a%20middling%20one%20and%20a%20large%20one.%20Write%20them%20into%20%60my_fits%60%2C%20replacing%20the%20two%20placeholder%20pairs.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20my_fits%20%3D%20%5B(0.26%2C%203000)%2C%20(0.0%2C%200)%2C%20(0.0%2C%200)%5D%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%20the%20two%20(0.0%2C%200)%20pairs%0A%20%20%20%20return%20(my_fits%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20logistic_formula%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20my_fits%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20survey_N%2C%0A%20%20%20%20survey_high%2C%0A%20%20%20%20survey_low%2C%0A%20%20%20%20survey_t%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_fig_m%2C%20_ax_m%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204.5))%0A%20%20%20%20_err%20%3D%20np.array(%5Bsurvey_N%20-%20survey_low%2C%20survey_high%20-%20survey_N%5D)%0A%20%20%20%20_ax_m.errorbar(2012%20%2B%20survey_t%2C%20survey_N%2C%20yerr%3D_err%2C%20fmt%3D%22o%22%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D9%2C%20capsize%3D6%2C%20linewidth%3D2%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.linspace(0%2C%2023%2C%20500)%0A%20%20%20%20_cols%20%3D%20%5B%22%231e8449%22%2C%20%22%23e67e22%22%2C%20%22%237d3c98%22%2C%20%22%23922b21%22%2C%20%22%2317a589%22%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%22%7C%20%24%5C%5Calpha%24%20%7C%20%24M%24%20%7C%20inside%20all%203%20ranges%3F%20%7C%202025%20forecast%20%7C%20growth%20per%20year%2C%202020%2F21%20to%202025%20%7C%22%2C%20%22%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%22%5D%0A%20%20%20%20for%20_k%2C%20(_a%2C%20_M)%20in%20enumerate(my_fits)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_a%20%3C%3D%200%20or%20_M%20%3C%3D%20146%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c%20%3D%20_cols%5B_k%20%25%20len(_cols)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_m.plot(2012%20%2B%20_t%2C%20logistic_formula(_t%2C%20146.0%2C%20_a%2C%20_M)%2C%20color%3D_c%2C%20linewidth%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24%5Calpha%20%3D%20%7B_a%3Ag%7D%24%2C%20%24M%20%3D%20%7B_M%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ns%20%3D%20logistic_formula(survey_t%2C%20146.0%2C%20_a%2C%20_M)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ok%20%3D%20bool(np.all((_Ns%20%3E%3D%20survey_low)%20%26%20(_Ns%20%3C%3D%20survey_high)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N25%20%3D%20logistic_formula(13.5%2C%20146.0%2C%20_a%2C%20_M)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_m.plot(2012%20%2B%2013.5%2C%20_N25%2C%20%22o%22%2C%20markersize%3D11%2C%20markerfacecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D_c%2C%20markeredgewidth%3D2.5%2C%20zorder%3D6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pct%20%3D%20100%20*%20((_N25%20%2F%20_Ns%5B2%5D)%20**%20(1%20%2F%205)%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%7B_a%3Ag%7D%20%7C%20%7B_M%7D%20%7C%20%7B'yes'%20if%20_ok%20else%20'**no**'%7D%20%7C%20%7B_N25%3A.0f%7D%20%7C%20%7B_pct%3A.0f%7D%25%20%7C%22)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_xlim(2011%2C%202035)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_ylim(0%2C%205000)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_xlabel(%22year%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_ylabel(%22beavers%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_title(%22your%20fits%2C%20and%20their%20forecasts%20for%202025%20(hollow%20circles)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_m.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22upper%20left%22)%0A%20%20%20%20_ax_m.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig_m.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_fig_m%2C%20mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows))%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%201.%20What%20are%20the%20smallest%20and%20the%20largest%20%24M%24%20you%20can%20make%20fit%3F%20What%20happens%20to%20the%20%24%5Calpha%24%20that%20goes%20with%20it%3F%0A%20%20%20%202.%20Can%20three%20surveys%20tell%20us%20%24M%24%3F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20Small%20%24M%24%20needs%20a%20big%20%24%5Calpha%24%2C%20and%20large%20%24M%24%20a%20small%20one%3A%20the%20curve%20has%20to%20rise%20fast%20early%20to%20reach%20the%202020%2F21%20range%20before%20it%20flattens.%20With%20%24%5Calpha%20%5Capprox%200.45%24%E2%80%93%240.5%24%2C%20%24M%24%20as%20small%20as%20about%20650%20fits.%20With%20%24%5Calpha%20%5Capprox%200.17%24%E2%80%93%240.24%24%2C%20%24M%24%20can%20be%20as%20large%20as%20you%20like%2C%20even%20100%2C000%3A%20the%20curve%20is%20then%20still%20exponential%20through%202020.%0A%20%20%20%202.%20No.%20Very%20different%20pairs%20fit%20equally%20well%2C%20and%20their%202025%20forecasts%20run%20from%20about%20650%20(already%20flat)%20to%20over%203500.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b)%3A%20your%20forecast.**%20Replace%20the%20placeholder%20with%20the%20range%20you%20expect%20the%202025%20survey's%20best%20estimate%20to%20fall%20in%2C%20using%20your%20fits%20and%20the%20questions%20above.%20Write%20it%20down%20somewhere%20you%20will%20find%20it%20when%20the%20report%20comes%20out.%20It%20matters%20for%20your%20advice%20in%20Exercise%204.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20my_forecast%20%3D%20%5B0%2C%200%5D%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%3A%20%5Blowest%2C%20highest%5D%20for%20the%202025%20survey's%20best%20estimate%0A%20%20%20%20print(%22my%20forecast%20for%20the%202025%20survey%3A%22%2C%20my_forecast%5B0%5D%2C%20%22to%22%2C%20my_forecast%5B1%5D%2C%20%22beavers%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20reveal.**%20NatureScot%20hasn't%20published%20the%202025%20survey%20yet%2C%20but%20its%20management%20report%20for%202025%2F26%20%5B5%5D%20says%20something%20about%20what%20the%20surveyors%20found.%20Only%20open%20it%20once%20you%20have%20written%20your%20forecast.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20What%20NatureScot%20said%20(2026)%0A%0A%20%20%20%20The%20population%20is%20still%20increasing%2C%20but%20not%20at%20the%2030%25%20a%20year%20measured%20between%202017%2F18%20and%202020%2F21.%20Its%20growth%20appears%20to%20follow%20a%20natural%20curve%2C%20as%20in%20other%20reintroduced%20beaver%20populations%20in%20Europe.%20The%202025%20survey%20is%20complete%20and%20its%20report%20is%20being%20finalised%20%5B5%5D.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%201.%20Does%20that%20rule%20out%20the%20exponential%20model%20at%2030%25%20a%20year%3F%20How%20many%20beavers%20would%20that%20have%20given%20by%202025%3F%0A%20%20%20%202.%20Look%20at%20the%20last%20column%20of%20the%20table%20above.%20Does%20the%20statement%20rule%20out%20any%20of%20your%20logistic%20fits%3F%0A%20%20%20%203.%20Would%20you%20change%20your%20forecast%3F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20Yes%3A%20%24954%20e%5E%7B0.263%20%5Ctimes%204.5%7D%20%5Capprox%203100%24%20beavers%20by%202025%2C%20and%20NatureScot%20says%20the%20growth%20is%20slower%20than%20that.%0A%20%20%20%202.%20Strictly%2C%20none.%20Every%20logistic%20curve%20that%20fits%20the%20surveys%20grows%20more%20slowly%20than%2030%25%20a%20year%20between%202020%2F21%20and%202025%20(at%20most%20about%2026%25)%2C%20because%20logistic%20growth%20always%20slows%20down.%20And%20every%20one%20is%20still%20increasing%2C%20even%20if%20only%20by%201%E2%80%933%25%20a%20year%20for%20the%20smallest%20%24M%24.%20So%20the%20statement%20agrees%20with%20the%20logistic%20model%2C%20but%20%22more%20slowly%22%20doesn't%20say%20how%20much%20more%20slowly%2C%20and%20that%20narrows%20%24M%24%20down%20very%20little.%20The%20number%20in%20the%20survey%20report%20will.%0A%20%20%20%203.%20Probably%20not%20by%20much%3A%20the%20statement%20is%20too%20vague%20to%20move%20a%20forecast%20far.%20If%20your%20forecast%20was%20near%20the%20top%20of%20the%20range%2C%20above%20about%203000%2C%20the%20curves%20behind%20it%20barely%20slow%20down%20(about%2025%25%20a%20year%20from%202020%2F21%20to%202025)%2C%20so%20the%20report%20nudges%20it%20lower.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Question.**%20Suppose%20the%202025%20survey's%20best%20estimate%20is%201300.%20Use%20the%20sliders%3A%20which%20%24M%24%20(with%20a%20matching%20%24%5Calpha%24)%20fit%20all%20four%20points%3F%20What%20if%20it%20is%202500%3F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%0A%0A%20%20%20%20Allowing%20about%2010%25%20either%20way%3A%20an%20estimate%20near%201300%20fits%20%24M%20%3D%201500%24%20with%20a%20large%20%24%5Calpha%24%2C%20but%20also%20%24M%20%3D%2050%7B%2C%7D000%24%20with%20a%20small%20one%2C%20so%20it%20rules%20out%20only%20the%20small%20values%20of%20%24M%24%20(below%20about%201500).%20An%20estimate%20near%202500%20rules%20out%20every%20%24M%24%20below%20about%205000.%20So%20one%20more%20survey%20helps%2C%20but%20it%20does%20not%20settle%20%24M%24%20on%20its%20own.%20What%20pins%20down%20%24M%24%20is%20seeing%20the%20growth%20level%20off%2C%20and%20that%20takes%20several%20more%20surveys.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Warm-up%203%20%E2%80%94%20equilibria%20and%20stability%0A%0A%20%20%20%20Taking%20beavers%20away%20knocks%20the%20population%20below%20where%20it%20would%20be%2C%20a%20bit%20like%20a%20small%20flood.%20First%2C%20how%20does%20a%20population%20recover%20from%20a%20one-off%20loss%3F%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(a)%2C%20on%20paper.**%20For%20%24f(N)%20%3D%20%5Calpha%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7BN%7D%7BM%7D%5Cright)N%24%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20find%20the%20equilibria%3B%0A%20%20%20%202.%20differentiate%20to%20find%20%24f'(N)%24%2C%20then%20%24f'%24%20at%20each%20equilibrium%3B%0A%20%20%20%203.%20use%20the%20linearised%20stability%20criterion%20(Section%205.6)%20to%20say%20which%20is%20stable.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%0A%0A%20%20%20%20Equilibria%20%24N%20%3D%200%24%20and%20%24N%20%3D%20M%24.%20%24f'(N)%20%3D%20%5Calpha(1%20-%202N%2FM)%24%2C%20so%20%24f'(0)%20%3D%20%5Calpha%20%3E%200%24%20(unstable)%20and%20%24f'(M)%20%3D%20-%5Calpha%20%3C%200%24%20(stable).%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20A%20flood%0A%0A%20%20%20%20Near%20%24M%24%20the%20gap%20%24%5Ctilde%20N%20%3D%20N%20-%20M%24%20obeys%20%24d%5Ctilde%20N%2Fdt%20%3D%20-%5Calpha%20%5Ctilde%20N%24%20(5.7)%2C%20so%20%24%5Ctilde%20N%20%3D%20%5Ctilde%20N(0)%20e%5E%7B-%5Calpha%20t%7D%24.%20**On%20paper%3A**%20how%20long%20does%20the%20gap%20take%20to%20halve%3F%20You%20already%20have%20a%20function%20that%20computes%20this%20number.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b).**%20Below%2C%20a%20flood%20removes%20a%20fraction%20of%20the%20beavers%20when%20they%20are%20at%20%24M%20%3D%203000%24.%20Replace%20the%20placeholder%20in%20%60flood_rate%60%20with%20the%20logistic%20model%20(5.4)%2C%20using%20%60alpha_flood%60%20and%20%60M_flood%60.%20The%20next%20cell%20then%20follows%20the%20arrows%20and%20measures%20how%20long%20the%20gap%20from%20%24M%24%20really%20takes%20to%20halve.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20alpha_flood%20%3D%200.26%0A%20%20%20%20M_flood%20%3D%203000%0A%0A%20%20%20%20def%20flood_rate(t%2C%20N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%0A%0A%20%20%20%20return%20M_flood%2C%20alpha_flood%2C%20flood_rate%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(M_flood%2C%20alpha_flood%2C%20doubling_time%2C%20flood_rate%2C%20follow_arrows%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20print(%22linearisation%3A%20the%20gap%20halves%20every%22%2C%20round(doubling_time(alpha_flood)%2C%202)%2C%20%22years%22)%0A%20%20%20%20for%20fraction_lost%20in%20%5B0.1%2C%200.2%2C%200.5%2C%200.8%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_after_flood%20%3D%20(1%20-%20fraction_lost)%20*%20M_flood%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_flood%2C%20N_flood%20%3D%20follow_arrows(flood_rate%2C%200.0%2C%20N_after_flood%2C%2030.0%2C%20n_steps%3D6000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%20%3D%20M_flood%20-%20N_flood%0A%20%20%20%20%20%20%20%20halved%20%3D%20np.where(gap%20%3C%3D%20gap%5B0%5D%20%2F%202)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(halved)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22lose%22%2C%20round(100%20*%20fraction_lost)%2C%20%22%25%3A%20%20the%20gap%20halves%20after%22%2C%20round(t_flood%5Bhalved%5B0%5D%5D%2C%202)%2C%20%22years%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22lose%22%2C%20round(100%20*%20fraction_lost)%2C%20%22%25%3A%20%20the%20gap%20never%20halves%20(check%20flood_rate)%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%201.%20Why%20is%20the%20halving%20time%20from%20the%20linearisation%20the%20same%20as%20the%20doubling%20time%20from%20Exercise%200%3F%0A%20%20%20%202.%20The%20bigger%20the%20flood%2C%20the%20longer%20the%20real%20halving%20time.%20Why%3F%20(The%20lecture's%20tangent-line%20picture%20helps.)%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20Doubling%20is%20%24e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%20%3D%202%24%20and%20halving%20is%20%24e%5E%7B-%5Calpha%20t%7D%20%3D%201%2F2%24%3A%20the%20same%20equation%2C%20so%20both%20give%20%24t%20%3D%20%5Cln%202%20%2F%20%5Calpha%20%5Capprox%202.67%24%20years.%0A%20%20%20%202.%20Real%20halving%20times%3A%20about%202.9%20years%20(10%25)%2C%203.1%20(20%25)%2C%204.2%20(50%25)%20and%206.9%20(80%25).%20Below%20%24M%24%20the%20parabola%20%24f(N)%24%20sits%20below%20its%20tangent%20line%2C%20so%20the%20real%20population%20climbs%20back%20more%20slowly%20than%20the%20linearisation%20says%2C%20and%20the%20further%20from%20%24M%24%20it%20starts%2C%20the%20bigger%20the%20difference.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20A%20new%20river%20(if%20you%20have%20time)%0A%0A%20%20%20%20NatureScot%20now%20moves%20some%20Tay%20families%20to%20other%20catchments%20%5B5%5D.%20Suppose%20a%20family%20of%204%20beavers%20is%20released%20on%20a%20river%20with%20room%20for%20%24M%20%3D%2060%24%2C%20and%20grows%20with%20the%20same%20%24%5Calpha%20%3D%200.26%24.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(c).**%20On%20paper%2C%20set%20%24N(t)%20%3D%20M%2F2%24%20in%20the%20solution%20(5.5)%20and%20solve%20for%20%24t%24.%20Then%20replace%20the%20placeholder%2C%20using%20%60np.log%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20N0_new%20%3D%204%0A%20%20%20%20M_new%20%3D%2060%0A%20%20%20%20alpha_new%20%3D%200.26%0A%0A%20%20%20%20time_to_half_full%20%3D%200.0%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%0A%20%20%20%20print(%22years%20until%20the%20river%20is%20half%20full%3A%22%2C%20time_to_half_full)%0A%20%20%20%20return%20M_new%2C%20N0_new%2C%20alpha_new%2C%20time_to_half_full%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(M_new%2C%20N0_new%2C%20alpha_new%2C%20logistic_formula%2C%20mo%2C%20time_to_half_full)%3A%0A%20%20%20%20_check%20%3D%20logistic_formula(time_to_half_full%2C%20N0_new%2C%20alpha_new%2C%20M_new)%0A%20%20%20%20mo.md(f%22Check%3A%20the%20formula%20(5.5)%20at%20your%20time%20gives%20**%7B_check%3A.2f%7D**%20beavers%3B%20half%20of%20%24M%24%20is%20%7BM_new%20%2F%202%3Ag%7D.%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdfrac%7BM%20N_0%7D%7B(M%20-%20N_0)e%5E%7B-%5Calpha%20t%7D%20%2B%20N_0%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7BM%7D%7B2%7D%24%20gives%20%24(M%20-%20N_0)e%5E%7B-%5Calpha%20t%7D%20%3D%20N_0%24%2C%20so%20%5C%5Bt%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha%7D%5Cln%5Cfrac%7BM%20-%20N_0%7D%7BN_0%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cln%2014%7D%7B0.26%7D%20%5Capprox%2010.2%20%5Ctext%7B%20years.%7D%5C%5D%20In%20code%3A%20%60time_to_half_full%20%3D%20np.log((M_new%20-%20N0_new)%20%2F%20N0_new)%20%2F%20alpha_new%60.%20A%20new%20population%20takes%20a%20decade%20to%20get%20going%2C%20and%20then%20fills%20the%20second%20half%20of%20the%20river%20much%20faster.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%20%E2%80%94%20the%20main%20task%3A%20how%20many%20can%20be%20removed%3F%0A%0A%20%20%20%20Back%20to%20your%20brief.%20Since%20May%202019%2C%20beavers%20that%20damage%20farmland%20can%20be%20removed%20under%20licence%3A%20trapped%20and%20moved%20elsewhere%2C%20or%20killed.%20These%20are%20the%20real%20numbers%20for%20each%20year%20NatureScot%20has%20reported%20%5B6%2C%207%2C%208%2C%209%2C%205%5D.%20They%20are%20for%20all%20of%20Scotland%3B%20we%20treat%20them%20as%20coming%20from%20the%20Tay%20population%2C%20which%20is%20by%20far%20the%20largest.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20removal_periods%20%3D%20%5B%22May%E2%80%93Dec%202019%22%2C%20%222020%22%2C%20%222021%22%2C%20%222022%22%2C%20%22Jan%202023%E2%80%93Apr%202024%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Apr%202024%E2%80%93Mar%202025%22%2C%20%22Apr%202025%E2%80%93Mar%202026%22%5D%0A%20%20%20%20removal_years%20%3D%20np.array(%5B0.67%2C%201.0%2C%201.0%2C%201.0%2C%201.33%2C%201.0%2C%201.0%5D)%20%20%20%20%23%20length%20of%20each%20period%0A%20%20%20%20removed%20%3D%20np.array(%5B87%2C%20115%2C%20120%2C%20108%2C%2085%2C%20102%2C%2084%5D)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20beavers%20removed%0A%20%20%20%20return%20removal_periods%2C%20removal_years%2C%20removed%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20removal_periods%2C%20removal_years%2C%20removed)%3A%0A%20%20%20%20_fig_r%2C%20_ax_r%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%203.6))%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.arange(len(removed))%0A%20%20%20%20_ax_r.bar(_x%2C%20removed%20%2F%20removal_years%2C%20color%3D%22%231a5276%22)%0A%20%20%20%20_ax_r.set_xticks(_x)%0A%20%20%20%20_ax_r.set_xticklabels(%5B_p.replace(%22%20%22%2C%20%22%5Cn%22%2C%201)%20for%20_p%20in%20removal_periods%5D%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax_r.set_ylabel(%22removed%20per%20year%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_r.set_title(%22Beavers%20removed%20under%20licence%20in%20Scotland%2C%20per%20year%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_r.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20axis%3D%22y%22)%0A%20%20%20%20_fig_r.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_r%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20About%20100%20a%20year.%20Next%20week's%20lectures%20add%20this%20to%20the%20model%3A%20removing%20%24H%24%20beavers%20a%20year%20gives%20%5C%5B%5Cfrac%7BdN%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Calpha%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7BN%7D%7BM%7D%5Cright)N%20-%20H%2C%5C%5D%20equation%20(5.9)%20in%20Section%205.9.%20Here%20you%20just%20run%20it.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Replace%20the%20placeholder%20in%20%60harvest_rate%60%20with%20the%20right-hand%20side%20above%2C%20using%20%60alpha_h%60%2C%20%60M_h%60%20and%20%60H_h%60.%20The%20plot%20then%20starts%20from%20the%202020%2F21%20survey%20(954%20beavers)%20and%20removes%20%24H%24%20beavers%20every%20year%20from%20then%20on.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20H_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%20250%2C%20step%3D10%2C%20value%3D100%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Removed%20per%20year%20%24H%24%22)%0A%20%20%20%20M_harvest_slider%20%3D%20mo.ui.slider(steps%3D%5B1000%2C%201500%2C%202000%2C%203000%2C%205000%2C%2010000%5D%2C%20value%3D3000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%20label%3Dr%22Carrying%20capacity%20%24M%24%22)%0A%20%20%20%20return%20H_slider%2C%20M_harvest_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(H_slider%2C%20M_harvest_slider)%3A%0A%20%20%20%20alpha_h%20%3D%200.26%0A%20%20%20%20M_h%20%3D%20M_harvest_slider.value%0A%20%20%20%20H_h%20%3D%20H_slider.value%0A%0A%20%20%20%20def%20harvest_rate(t%2C%20N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20N%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%20%20%20%20%23%20no%20beavers%20left%20to%20remove%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%0A%0A%20%20%20%20return%20H_h%2C%20M_h%2C%20harvest_rate%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20H_h%2C%0A%20%20%20%20H_slider%2C%0A%20%20%20%20M_h%2C%0A%20%20%20%20M_harvest_slider%2C%0A%20%20%20%20follow_arrows%2C%0A%20%20%20%20harvest_rate%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_t_h%2C%20_N_h%20%3D%20follow_arrows(harvest_rate%2C%200.0%2C%20954.0%2C%2040.0%2C%20n_steps%3D8000)%0A%20%20%20%20_N_h%20%3D%20np.clip(_N_h%2C%200%2C%20None)%0A%20%20%20%20_gone%20%3D%20np.where(_N_h%20%3C%3D%200)%5B0%5D%0A%20%20%20%20if%20len(_gone)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_verdict%20%3D%20f%22dies%20out%20around%20%7B2020.5%20%2B%20_t_h%5B_gone%5B0%5D%5D%3A.0f%7D%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_verdict%20%3D%20f%22%7B_N_h%5B-1%5D%3A.0f%7D%20beavers%20in%202060%22%0A%0A%20%20%20%20_fig_h%2C%20_ax_h%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204.5))%0A%20%20%20%20_ax_h.plot(2020.5%20%2B%20_t_h%2C%20_N_h%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Df%22removing%20%7BH_h%7D%20a%20year%22)%0A%20%20%20%20_ax_h.axhline(M_h%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_h.text(2021%2C%20M_h%2C%20f%22M%20%3D%20%7BM_h%7D%22%2C%20va%3D%22bottom%22%2C%20fontsize%3D10%2C%20color%3D%22grey%22)%0A%20%20%20%20_ax_h.set_xlim(2020%2C%202061)%0A%20%20%20%20_ax_h.set_ylim(0%2C%2010500%20if%20M_h%20%3E%205000%20else%205300)%0A%20%20%20%20_ax_h.set_xlabel(%22year%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_h.set_ylabel(%22beavers%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_h.set_title(rf%22%24%5Calpha%20%3D%200.26%24%2C%20%24M%20%3D%20%7BM_h%7D%24%2C%20%24H%20%3D%20%7BH_h%7D%24%3A%20%7B_verdict%7D%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_h.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_ax_h.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig_h.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5BM_harvest_slider%2C%20H_slider%2C%20_fig_h%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%20Predict%20each%20answer%20before%20you%20use%20the%20sliders.%0A%0A%20%20%20%201.%20With%20%24M%20%3D%203000%24%2C%20compare%20%24H%20%3D%200%24%20and%20%24H%20%3D%20100%24.%20Is%20removing%20100%20a%20year%20making%20much%20difference%3F%0A%20%20%20%202.%20With%20%24M%20%3D%203000%24%2C%20what%20is%20the%20largest%20%24H%24%20the%20beavers%20survive%2C%20starting%20from%20954%3F%0A%20%20%20%203.%20Now%20%24M%20%3D%201500%24%20and%20%24H%20%3D%20100%24.%20What%20happens%2C%20and%20why%20could%20it%20fool%20someone%20watching%20the%20numbers%20for%20a%20few%20years%3F%0A%20%20%20%204.%20Removals%20have%20been%20about%20100%20a%20year%20since%202019%2C%20and%20NatureScot%20says%20the%20population%20is%20still%20increasing%20%5B5%5D.%20What%20does%20that%20suggest%20about%20%24M%24%3F%0A%20%20%20%205.%20**Your%20advice.**%20Should%20NatureScot%20remove%20more%20beavers%20each%20year%2C%20fewer%2C%20or%20about%20the%20same%3F%20What%20would%20you%20want%20to%20know%20from%20the%202025%20survey%20before%20deciding%3F%20Discuss%20with%20your%20neighbour%2C%20then%20write%20your%20advice%20in%20the%20cell%20below%3A%20two%20or%20three%20sentences%2C%20using%20numbers%20from%20the%20model.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20Not%20much.%20The%20population%20still%20grows%2C%20to%20about%202500%20instead%20of%203000%20by%202060%3A%20removals%20lower%20the%20level%20it%20settles%20at%2C%20but%20don't%20stop%20the%20growth.%0A%20%20%20%202.%20About%20160%E2%80%93170%20a%20year.%20At%20170%20the%20population%20sinks%20slowly%20and%20dies%20out%20after%202060%3B%20at%20200%20it%20is%20gone%20by%20the%20early%202030s.%20The%20limit%20is%20the%20growth%20rate%20at%20954%20beavers%2C%20%24f(954)%20%5Capprox%20169%24%20a%20year%3A%20remove%20more%20than%20the%20population%20adds%20and%20it%20shrinks%2C%20which%20makes%20it%20add%20even%20fewer.%20Next%20week's%20lectures%20(Section%205.9)%20explain%20this%20properly%2C%20together%20with%20a%20related%20number%2C%20the%20critical%20rate%20%24%5Calpha%20M%2F4%24.%0A%20%20%20%203.%20It%20shrinks%2C%20but%20very%20slowly%3A%20there%20are%20still%20about%20775%20beavers%20in%202060.%20100%20a%20year%20is%20only%20just%20more%20than%20the%20most%20this%20population%20can%20ever%20add%20(%24%5Calpha%20M%2F4%20%5Capprox%2097.5%24%20for%20%24M%20%3D%201500%24)%2C%20so%20there%20is%20no%20level%20where%20it%20can%20settle%20and%20it%20does%20die%20out%20in%20the%20end%2C%20but%20the%20counts%20barely%20change%20for%20decades.%20A%20few%20years%20of%20steady%20counts%20would%20look%20reassuring.%0A%20%20%20%204.%20With%20%24%5Calpha%20%3D%200.26%24%20and%20100%20a%20year%20removed%2C%20the%20population%20would%20already%20be%20shrinking%20if%20%24M%24%20were%20below%20about%201600.%20So%20%24M%24%20is%20probably%20larger%20than%20that%2C%20unless%20%24%5Calpha%24%20is%20too.%20(The%20surveys'%20counts%20already%20include%20the%20removals%20since%202019%2C%20so%20the%20%24%5Calpha%24%20and%20%24M%24%20from%20Exercise%202%20are%20a%20little%20off.)%0A%20%20%20%205.%20There%20is%20no%20single%20right%20answer%3B%20good%20answers%20use%20the%20model%20(an%20example%20is%20in%20the%20answers%20version%20of%20the%20cell%20below).%20If%20%24M%24%20is%20large%2C%20100%20a%20year%20barely%20changes%20where%20the%20population%20ends%20up%2C%20so%20the%20removals%20are%20about%20local%20damage%2C%20not%20numbers.%20If%20%24M%24%20is%20small%2C%20the%20same%20100%20a%20year%20could%20eventually%20wipe%20the%20population%20out.%20So%20the%20first%20thing%20to%20know%20is%20%24M%24%2C%20and%20the%202025%20survey%20is%20the%20best%20evidence%20we%20will%20have%20for%20it.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20my_advice%20%3D%20%22%22%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%20with%20your%20advice%2C%20in%20two%20or%20three%20sentences%0A%20%20%20%20print(my_advice)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**References**%0A%0A%20%20%20%20%5B1%5D%20Scottish%20Wildlife%20Trust%2C%20%5B*Policy%20briefing%3A%20Beaver%20conservation%20and%20conflict*%5D(https%3A%2F%2Fscottishwildlifetrust.org.uk%2Fwp-content%2Fuploads%2F2025%2F01%2FScottish-Wildlife-Trust_Policy-Briefing_Beaver-conservation-and-conflict_December-2024.pdf)%20(December%202024).%0A%0A%20%20%20%20%5B2%5D%20R.%20Campbell%2C%20A.%20Harrington%2C%20A.%20Ross%20and%20L.%20Harrington%2C%20%5B*Distribution%2C%20population%20assessment%20and%20activities%20of%20beavers%20in%20Tayside*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fnaturescot-commissioned-report-540-distribution-population-assessment-and-activities-beavers-tayside)%2C%20Scottish%20Natural%20Heritage%20Commissioned%20Report%20540%20(2012).%0A%0A%20%20%20%20%5B3%5D%20%5B*Survey%20of%20the%20Tayside%20area%20beaver%20population%202017%E2%80%932018*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fnaturescot-research-report-1013-survey-tayside-area-beaver-population-2017-2018)%2C%20NatureScot%20Research%20Report%201013.%0A%0A%20%20%20%20%5B4%5D%20R.%20Campbell-Palmer%20et%20al.%2C%20%5B*Survey%20of%20the%20Tayside%20area%20beaver%20population%202020%E2%80%932021*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fnaturescot-research-report-1274-survey-tayside-area-beaver-population-2020-2021)%2C%20NatureScot%20Research%20Report%201274.%0A%0A%20%20%20%20%5B5%5D%20%5B*Beaver%20Management%20Report%202025%2F26*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fbeaver-management-report-202526)%2C%20NatureScot.%0A%0A%20%20%20%20%5B6%5D%20%5B*Beaver%20Management%20Report%20for%202020*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fbeaver-management-report-2020)%2C%20NatureScot.%0A%0A%20%20%20%20%5B7%5D%20%5B*Beaver%20Management%20Report%20for%202022*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fbeaver-management-report-2022)%2C%20NatureScot.%0A%0A%20%20%20%20%5B8%5D%20%5B*Beaver%20Management%20Report%2C%20January%202023%20to%20April%202024*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fbeaver-management-report-january-2023-april-2024)%2C%20NatureScot.%0A%0A%20%20%20%20%5B9%5D%20%5B*Beaver%20Management%20Report%2C%2001%20April%202024%20to%2031%20March%202025*%5D(https%3A%2F%2Fwww.nature.scot%2Fdoc%2Fbeaver-management-report-01-april-2024-31-march-2025)%2C%20NatureScot.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A