Week 5 Lab — Designing a car's suspension (Answers)

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Week%205%20Lab%20%E2%80%94%20Designing%20a%20car's%20suspension%20(Answers)%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%205%20lab%20%E2%80%94%20Designing%20a%20car's%20suspension%20(Answers)%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**This%20is%20the%20answers%20version.**%20Every%20placeholder%20is%20filled%20in.%0A%0A%20%20%20%20Push%20down%20on%20the%20corner%20of%20a%20car%20and%20let%20go%3A%20it%20bounces%20back%20up%2C%20maybe%20overshoots%2C%20and%20settles.%20Each%20corner%20sits%20on%20a%20spring%2C%20with%20a%20shock%20absorber%20(a%20%22damper%22)%20to%20stop%20the%20bouncing.%20An%20engineer%20designing%20the%20suspension%20chooses%20two%20numbers%3A%20how%20stiff%20the%20spring%20is%20and%20how%20strong%20the%20damper%20is.%20Today%20you%20work%20out%20what%20each%20choice%20does%20to%20the%20ride%2C%20using%20the%20damped%20oscillator%20from%20this%20week's%20lectures.%0A%0A%20%20%20%200.%20warm-up%3A%20picking%20numbers%20out%20of%20an%20array%3B%0A%20%20%20%201.%20meet%20the%20car%2C%20and%20match%20it%20to%20the%20lecture's%20equation%3B%0A%20%20%20%202.%20the%20spring%3A%20how%20the%20bounce%20feels%2C%20and%20how%20far%20the%20car%20sinks%3B%0A%20%20%20%203.%20the%20damper%3A%20how%20quickly%20the%20bounce%20dies%3B%0A%20%20%20%204.%20load%20the%20car%20up%3A%20what%20changes%3F%0A%20%20%20%205.%20(if%20you%20have%20time)%20driving%20over%20a%20wavy%20road.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20loop%20from%20Section%204%20of%20the%20lecture%2C%20unchanged.%20Every%20plot%20below%20uses%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20follow_two_arrows(acc%2C%20y_start%2C%20v_start%2C%20t_stop%2C%20n_steps%3D10000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Step%20position%20y%20and%20velocity%20v%20forward%20together%3B%20acc(t%2C%20y%2C%20v)%20gives%20y''.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h%20%3D%20t_stop%20%2F%20n_steps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_values%20%3D%20%5B0.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_values%20%3D%20%5By_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_values%20%3D%20%5Bv_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20step%20in%20range(n_steps)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_now%20%3D%20t_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_now%20%3D%20y_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20v_now%20%3D%20v_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_now%20%3D%20acc(t_now%2C%20y_now%2C%20v_now)%20%20%20%20%23%20line%201%3A%20acceleration%20from%20the%20ODE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20v_next%20%3D%20v_now%20%2B%20h%20*%20a_now%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20line%202%3A%20new%20velocity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_next%20%3D%20y_now%20%2B%20h%20*%20v_next%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20line%203%3A%20new%20position%2C%20using%20the%20new%20velocity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_values.append(t_now%20%2B%20h)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20v_values.append(v_next)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_values.append(y_next)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(t_values)%2C%20np.array(y_values)%0A%0A%20%20%20%20return%20(follow_two_arrows%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20draw_car(ax%2C%20y_body%2C%20road_x%3DNone%2C%20road_u%3DNone%2C%20road_dip%3D0.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Draw%20one%20corner%20of%20the%20car.%20Lengths%20in%20cm%3B%20up-and-down%20movements%20drawn%204%20times%20bigger.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scale%20%3D%20400%20%20%20%20%23%20metres%20to%20picture%20cm%2C%20times%204%0A%20%20%20%20%20%20%20%20road_y%20%3D%20-scale%20*%20road_dip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20road_x%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5B-90%2C%2090%5D%2C%20%5Broad_y%2C%20road_y%5D%2C%20color%3D%22%23555%22%2C%20linewidth%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(road_x%2C%20-scale%20*%20road_u%2C%20color%3D%22%23555%22%2C%20linewidth%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axle%20%3D%20road_y%20%2B%2030%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bottom%20%3D%2095%20-%20scale%20*%20y_body%20%20%20%20%23%20underside%20of%20the%20body%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20wheel%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.add_patch(plt.Circle((0%2C%20axle)%2C%2030%2C%20facecolor%3D%22%23333%22%2C%20edgecolor%3D%22black%22%2C%20zorder%3D3))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.add_patch(plt.Circle((0%2C%20axle)%2C%2011%2C%20facecolor%3D%22%23aaa%22%2C%20zorder%3D4))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5B-32%2C%2032%5D%2C%20%5Baxle%2C%20axle%5D%2C%20color%3D%22%23333%22%2C%20linewidth%3D4%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20spring%20on%20the%20left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zig_y%20%3D%20np.linspace(axle%2C%20bottom%2C%2018)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zig_x%20%3D%20np.full_like(zig_y%2C%20-32.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zig_x%5B1%3A-1%5D%20%3D%20-32%20%2B%209%20*%20np.array(%5B1%2C%20-1%5D%20*%208)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(zig_x%2C%20zig_y%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2.2%2C%20zorder%3D6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20damper%20on%20the%20right%3A%20a%20cylinder%20hanging%20from%20the%20body%2C%20a%20rod%20coming%20up%20from%20the%20axle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.add_patch(plt.Rectangle((24%2C%20bottom%20-%2028)%2C%2016%2C%2028%2C%20facecolor%3D%22%23d5d8dc%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%23555%22%2C%20zorder%3D6))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5B32%2C%2032%5D%2C%20%5Baxle%2C%20bottom%20-%2018%5D%2C%20color%3D%22%23555%22%2C%20linewidth%3D3%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20body%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.add_patch(plt.Rectangle((-75%2C%20bottom)%2C%20150%2C%2040%2C%20facecolor%3D%22%23922b21%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22black%22%2C%20zorder%3D7))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5B-90%2C%2090%5D%2C%20%5B95%2C%2095%5D%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text(-112%2C%2098%2C%20%22rest%22%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20fontsize%3D9%2C%20ha%3D%22left%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text(-45%2C%20-42%2C%20%22spring%22%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20fontsize%3D9%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text(45%2C%20-42%2C%20%22damper%22%2C%20color%3D%22%23555%22%2C%20fontsize%3D9%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlim(-115%2C%2095)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(-50%2C%20165)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axis(%22off%22)%0A%0A%20%20%20%20return%20(draw_car%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%200%20%E2%80%94%20warm-up%3A%20positions%20in%20an%20array%0A%0A%20%20%20%20A%20sensor%20on%20the%20car%20body%20records%20how%20far%20the%20body%20is%20below%20its%20resting%20height%20(in%20cm%3B%20negative%20means%20above)%20at%20the%20top%20and%20bottom%20of%20each%20bounce%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20bounce%20%3D%20np.array(%5B5.0%2C%20-2.22%2C%200.99%2C%20-0.44%2C%200.19%2C%20-0.09%5D)%0A%20%20%20%20return%20(bounce%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Remember%20from%20the%20lecture%3A%20positions%20count%20from%200%2C%20%60bounce%5B-1%5D%60%20is%20the%20last%20value%2C%20and%20%60bounce%5Bstart%3Astop%5D%60%20stops%20*before*%20%60stop%60.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Replace%20each%20placeholder%20using%20%60bounce%5B...%5D%60.%20Don't%20type%20the%20numbers%20in%20yourself.%0A%0A%20%20%20%20-%20%60first_reading%60%3A%20the%20first%20value.%0A%20%20%20%20-%20%60last_reading%60%3A%20the%20last%20value.%0A%20%20%20%20-%20%60middle_four%60%3A%20the%20four%20values%20in%20the%20middle%20(everything%20except%20the%20first%20and%20the%20last).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(bounce)%3A%0A%20%20%20%20first_reading%20%3D%20bounce%5B0%5D%0A%20%20%20%20last_reading%20%3D%20bounce%5B-1%5D%0A%20%20%20%20middle_four%20%3D%20bounce%5B1%3A5%5D%0A%20%20%20%20print(first_reading%2C%20last_reading%2C%20middle_four)%0A%20%20%20%20return%20first_reading%2C%20last_reading%2C%20middle_four%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(bounce%2C%20first_reading%2C%20last_reading%2C%20middle_four%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_ok_first%20%3D%20first_reading%20%3D%3D%20bounce%5B0%5D%0A%20%20%20%20_ok_last%20%3D%20last_reading%20%3D%3D%20bounce%5B-1%5D%0A%20%20%20%20_ok_mid%20%3D%20len(middle_four)%20%3D%3D%204%20and%20np.all(middle_four%20%3D%3D%20bounce%5B1%3A5%5D)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22-%20first%20reading%3A%20%7B'%E2%9C%93'%20if%20_ok_first%20else%20'not%20yet'%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22-%20last%20reading%3A%20%7B'%E2%9C%93'%20if%20_ok_last%20else%20'not%20yet'%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22-%20middle%20four%3A%20%7B'%E2%9C%93'%20if%20_ok_mid%20else%20'not%20yet'%7D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%20%E2%80%94%20meet%20the%20car%0A%0A%20%20%20%20Model%20one%20corner%20of%20the%20car%20as%20a%20mass%20%24m%24%20on%20a%20spring%20of%20stiffness%20%24s%24%2C%20with%20a%20damper%20of%20strength%20%24c%24.%20Let%20%24y(t)%24%20be%20how%20far%20the%20body%20is%20below%20its%20resting%20height%20(so%20pushing%20down%20makes%20%24y%24%20positive).%20Newton's%20second%20law%20gives%20%5C%5Bm%5C%2Cy''%20%2B%20c%5C%2Cy'%20%2B%20s%5C%2Cy%20%3D%200.%5C%5D%20The%20spring%20pushes%20back%20in%20proportion%20to%20%24y%24%2C%20and%20the%20damper%20pushes%20back%20in%20proportion%20to%20the%20speed%20%24y'%24.%20There%20is%20no%20%24mg%24%20term%20because%20%24y%24%20is%20measured%20from%20the%20resting%20height%2C%20where%20the%20spring%20is%20already%20squashed%20just%20enough%20to%20hold%20up%20the%20car's%20weight%3A%20gravity%20and%20that%20part%20of%20the%20spring's%20push%20cancel.%20Exercise%202%20comes%20back%20to%20this.%0A%0A%20%20%20%20The%20numbers%20for%20our%20car%3A%20a%20quarter%20of%20a%20family%20car's%20mass%2C%20and%20a%20spring%20and%20damper%20of%20the%20usual%20size.%20We%20push%20the%20corner%20down%205%20cm%20and%20let%20go%3A%20%24y(0)%20%3D%200.05%24%20m%2C%20%24y'(0)%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20m_car%20%3D%20400.0%20%20%20%20%20%20%23%20mass%20on%20one%20corner%20(kg)%0A%20%20%20%20s_car%20%3D%2025600.0%20%20%20%20%23%20spring%20stiffness%20(N%2Fm)%3A%20newtons%20to%20squash%20it%20by%201%20m%0A%20%20%20%20c_car%20%3D%201600.0%20%20%20%20%20%23%20damper%20strength%20(N%20s%2Fm)%3A%20newtons%20to%20push%20it%20at%201%20m%2Fs%0A%20%20%20%20y0_car%20%3D%200.05%20%20%20%20%20%20%23%20pushed%20down%205%20cm%20(m)%0A%20%20%20%20g_acc%20%3D%209.81%20%20%20%20%20%20%20%23%20gravity%20(m%2Fs%C2%B2)%0A%20%20%20%20return%20c_car%2C%20g_acc%2C%20m_car%2C%20s_car%2C%20y0_car%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(c_car%2C%20follow_two_arrows%2C%20m_car%2C%20s_car%2C%20y0_car)%3A%0A%20%20%20%20def%20acc_car(t%2C%20y%2C%20v)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-(c_car%20*%20v%20%2B%20s_car%20*%20y)%20%2F%20m_car%20%20%20%20%23%20m%20y''%20%2B%20c%20y'%20%2B%20s%20y%20%3D%200%2C%20solved%20for%20y''%0A%0A%20%20%20%20t_push%2C%20y_push%20%3D%20follow_two_arrows(acc_car%2C%20y0_car%2C%200.0%2C%203.0)%0A%20%20%20%20return%20t_push%2C%20y_push%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Drag%20the%20time%20slider%20to%20push%20the%20car%20down%20and%20let%20go.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20t_push_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%203.0%2C%20step%3D0.02%2C%20value%3D0.0%2C%20label%3Dr%22Time%20%24t%24%20(s)%22)%0A%20%20%20%20return%20(t_push_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(draw_car%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20t_push%2C%20t_push_slider%2C%20y_push)%3A%0A%20%20%20%20_t_now%20%3D%20t_push_slider.value%0A%20%20%20%20_y_now%20%3D%20np.interp(_t_now%2C%20t_push%2C%20y_push)%0A%20%20%20%20_fig0%2C%20(_axc0%2C%20_axg0)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(11%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B%22width_ratios%22%3A%20%5B1%2C%201.6%5D%7D)%0A%20%20%20%20draw_car(_axc0%2C%20_y_now)%0A%20%20%20%20_axc0.set_title(%22one%20corner%20of%20the%20car%5Cn(movement%20drawn%204%C3%97%20bigger)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_past0%20%3D%20t_push%20%3C%3D%20_t_now%0A%20%20%20%20_axg0.plot(t_push%2C%20100%20*%20y_push%2C%20color%3D%22lightgrey%22%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20_axg0.plot(t_push%5B_past0%5D%2C%20100%20*%20y_push%5B_past0%5D%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_axg0.plot(_t_now%2C%20100%20*%20_y_now%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20markersize%3D9)%0A%20%20%20%20_axg0.axhline(0%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20_axg0.set_xlim(0%2C%203)%0A%20%20%20%20_axg0.set_ylim(-5.5%2C%205.5)%0A%20%20%20%20_axg0.set_xlabel(r%22%24t%24%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg0.set_ylabel(r%22%24y%24%20(cm%20below%20rest)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg0.set_title(rf%22%24t%20%3D%20%7B_t_now%3A.2f%7D%24%20s%2C%20%20%20%24y%20%3D%20%7B100%20*%20_y_now%3A.2f%7D%24%20cm%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg0.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig0.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bt_push_slider%2C%20_fig0%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Match%20it%20to%20the%20lecture's%20equation%0A%0A%20%20%20%20Divide%20the%20car's%20equation%20by%20%24m%24%20and%20compare%20it%20with%20the%20damped%20oscillator%20(4.17)%2C%20%24y''%20%2B%202k%5C%2Cy'%20%2B%20%5Comega%5E2%20y%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20On%20paper%2C%20write%20%24k%24%20and%20%24%5Comega%24%20in%20terms%20of%20%24m%24%2C%20%24c%24%20and%20%24s%24.%20Then%20replace%20the%20two%20placeholders%2C%20using%20%60m_car%60%2C%20%60c_car%60%2C%20%60s_car%60%20and%20%60np.sqrt(...)%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(c_car%2C%20m_car%2C%20np%2C%20s_car)%3A%0A%20%20%20%20k_car%20%3D%20c_car%20%2F%20(2%20*%20m_car)%0A%20%20%20%20omega_car%20%3D%20np.sqrt(s_car%20%2F%20m_car)%0A%20%20%20%20print(%22k%20%3D%22%2C%20k_car%2C%20%22%20%20omega%20%3D%22%2C%20omega_car)%0A%20%20%20%20print(%22roots%3A%22%2C%20np.roots(%5B1%2C%202%20*%20k_car%2C%20omega_car**2%5D))%0A%20%20%20%20return%20(omega_car%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%20(open%20once%20you%20have%20numbers)%0A%0A%20%20%20%20%242k%20%3D%20c%2Fm%24%20and%20%24%5Comega%5E2%20%3D%20s%2Fm%24%2C%20so%20%24k%20%3D%20c%2F(2m)%20%3D%202%24%20and%20%24%5Comega%20%3D%20%5Csqrt%7Bs%2Fm%7D%20%3D%208%24.%20The%20roots%20are%20%24-2%20%5Cpm%207.746i%24%3A%20complex%2C%20so%20the%20car%20is%20**underdamped**%2C%20which%20is%20why%20it%20bounced%20on%20the%20plot.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%20%E2%80%94%20the%20spring%3A%20how%20the%20bounce%20feels%0A%0A%20%20%20%20The%20bounce%20repeats%20about%20%24%5Comega%2F(2%5Cpi)%24%20times%20per%20second%20(exactly%20that%20often%20if%20there%20were%20no%20damper).%20Engineers%20call%20this%20the%20**ride%20frequency**%2C%20%24f%20%3D%20%5Comega%2F(2%5Cpi)%24%2C%20measured%20in%20hertz%20(Hz%2C%20%22per%20second%22).%20It%20is%20the%20first%20number%20a%20suspension%20designer%20picks%20%5B1%5D%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20passenger%20cars%3A%20about%200.5%E2%80%931.5%20Hz%2C%20for%20comfort%3B%0A%20%20%20%20-%20saloon%20racing%20cars%3A%20about%201.5%E2%80%932%20Hz%3B%0A%20%20%20%20-%20racing%20cars%20with%20big%20wings%3A%203%E2%80%935%20Hz%20or%20more.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(a).**%20Replace%20the%20placeholder%20with%20the%20ride%20frequency%20of%20our%20car.%20Use%20%60omega_car%60%20and%20%60np.pi%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20omega_car)%3A%0A%20%20%20%20f_car%20%3D%20omega_car%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%0A%20%20%20%20print(%22ride%20frequency%3A%22%2C%20f_car%2C%20%22Hz%22)%0A%20%20%20%20return%20(f_car%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%0A%0A%20%20%20%20%24f%20%3D%208%2F(2%5Cpi)%20%5Capprox%201.27%24%20Hz%3A%20inside%20the%20passenger-car%20range.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20How%20far%20the%20car%20sinks%0A%0A%20%20%20%20Put%20the%20car%20on%20its%20wheels%20and%20gravity%20squashes%20each%20spring%20until%20the%20spring's%20push%20%24s%5C%2C%5Cdelta%24%20balances%20the%20weight%20%24m%20g%24.%20So%20the%20car%20sinks%20by%20%5C%5B%5Cdelta%20%3D%20%5Cfrac%7Bm%20g%7D%7Bs%7D%2C%5C%5D%20called%20the%20**sag**.%20The%20sag%20also%20tells%20you%20how%20far%20the%20body%20moves%20in%20everyday%20driving%3A%20the%20spring%20is%20linear%2C%20so%20an%20extra%20push%20equal%20to%20the%20car's%20weight%20(a%20hard%20bump%2C%20say)%20squashes%20it%20by%20another%20%24%5Cdelta%24.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b).**%20Replace%20the%20placeholder%20with%20%24%5Cdelta%24%20for%20our%20car%2C%20in%20metres.%20Use%20%60m_car%60%2C%20%60g_acc%60%20and%20%60s_car%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(g_acc%2C%20m_car%2C%20s_car)%3A%0A%20%20%20%20sag_car%20%3D%20m_car%20*%20g_acc%20%2F%20s_car%0A%20%20%20%20print(%22the%20car%20sinks%20by%22%2C%20sag_car%2C%20%22m%22)%0A%20%20%20%20return%20(sag_car%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(f_car%2C%20g_acc%2C%20mo%2C%20np%2C%20sag_car)%3A%0A%20%20%20%20if%20sag_car%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f_from_sag%20%3D%20np.sqrt(g_acc%20%2F%20sag_car)%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_msg%20%3D%20f%22From%20the%20sag%20alone%2C%20%24%5C%5Csqrt%7B%7Bg%2F%5C%5Cdelta%7D%7D%2F(2%5C%5Cpi)%24%20%3D%20**%7B_f_from_sag%3A.4f%7D%20Hz**.%20Your%20ride%20frequency%20from%20(a)%3A%20**%7Bf_car%3A.4f%7D%20Hz**.%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_msg%20%3D%20%22Fill%20in%20%60sag_car%60%20to%20see%20a%20comparison.%22%0A%20%20%20%20mo.md(_msg)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Question.**%20The%20two%20numbers%20above%20agree.%20Why%3F%20Start%20from%20%24%5Comega%5E2%20%3D%20s%2Fm%24%20and%20%24%5Cdelta%20%3D%20mg%2Fs%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%0A%0A%20%20%20%20From%20%24%5Cdelta%20%3D%20mg%2Fs%24%20we%20get%20%24s%2Fm%20%3D%20g%2F%5Cdelta%24%2C%20so%20%24%5Comega%5E2%20%3D%20g%2F%5Cdelta%24%20and%20%5C%5Bf%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Cdelta%7D%7D.%5C%5D%20The%20mass%20and%20the%20spring%20only%20matter%20through%20how%20far%20the%20car%20sinks%3A%20**the%20ride%20frequency%20is%20fixed%20by%20the%20sag.**%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20The%20damper%20plays%20no%20part%20here%3A%20%24f%24%20and%20%24%5Cdelta%24%20depend%20only%20on%20%24m%24%20and%20%24s%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20slider%20changes%20the%20spring%20stiffness.%20The%20left%20picture%20shows%2C%20at%20real%20size%2C%20how%20far%20the%20car%20sinks%20under%20its%20own%20weight%3B%20the%20right%20shows%20the%20ride%20frequency%20against%20the%20sag%2C%20with%20the%20design%20ranges%20shaded.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20s_slider%20%3D%20mo.ui.slider(3200%2C%20160000%2C%20step%3D1600%2C%20value%3D25600%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Spring%20stiffness%20%24s%24%20(N%2Fm)%22)%0A%20%20%20%20return%20(s_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(g_acc%2C%20m_car%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20s_slider)%3A%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20s_slider.value%0A%20%20%20%20_sag%20%3D%20m_car%20*%20g_acc%20%2F%20_s%0A%20%20%20%20_f%20%3D%20np.sqrt(_s%20%2F%20m_car)%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%0A%0A%20%20%20%20_fig2%2C%20(_axs%2C%20_axf)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(11%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B%22width_ratios%22%3A%20%5B1%2C%202%5D%7D)%0A%20%20%20%20%23%20left%3A%20the%20car%20sitting%20on%20its%20spring%2C%20real%20size%20(in%20metres)%0A%20%20%20%20_axs.add_patch(plt.Rectangle((-0.8%2C%201.0%20-%20_sag)%2C%201.6%2C%200.25%2C%20facecolor%3D%22%23922b21%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22black%22))%0A%20%20%20%20_axs.add_patch(plt.Rectangle((-0.8%2C%201.0)%2C%201.6%2C%200.25%2C%20facecolor%3D%22none%22%2C%20edgecolor%3D%22grey%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20zorder%3D5))%0A%20%20%20%20_axs.text(0%2C%201.3%2C%20%22dashed%3A%20where%20it%20would%20sit%5Cnwith%20no%20weight%20on%20the%20spring%22%2C%20color%3D%22grey%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22)%0A%20%20%20%20_axs.annotate(%22%22%2C%20xy%3D(-0.95%2C%201.0%20-%20_sag)%2C%20xytext%3D(-0.95%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22%3C-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22black%22%7D)%0A%20%20%20%20_axs.text(-1.0%2C%201.0%20-%20_sag%20%2F%202%2C%20f%22%7B100%20*%20_sag%3A.0f%7D%20cm%22%2C%20ha%3D%22right%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_axs.set_xlim(-1.6%2C%201.3)%0A%20%20%20%20_axs.set_ylim(-0.3%2C%201.6)%0A%20%20%20%20_axs.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20_axs.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20_axs.set_title(%22how%20far%20the%20car%20sinks%5Cn(real%20size)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%0A%20%20%20%20%23%20right%3A%20f%20against%20the%20sag%2C%20f%20%3D%20sqrt(g%20%2F%20sag)%20%2F%20(2%20pi)%0A%20%20%20%20_sags%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%201.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20_axf.axhspan(0.5%2C%201.5%2C%20color%3D%22%231e8449%22%2C%20alpha%3D0.12%2C%20label%3D%22passenger%20cars%22)%0A%20%20%20%20_axf.axhspan(1.5%2C%202.0%2C%20color%3D%22%23b9770e%22%2C%20alpha%3D0.15%2C%20label%3D%22saloon%20racing%20cars%22)%0A%20%20%20%20_axf.plot(100%20*%20_sags%2C%20np.sqrt(g_acc%20%2F%20_sags)%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_axf.plot(100%20*%20_sag%2C%20_f%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20markersize%3D11%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_axf.set_xlim(0%2C%20100)%0A%20%20%20%20_axf.set_ylim(0%2C%204)%0A%20%20%20%20_axf.set_xlabel(r%22sag%20%24%5Cdelta%24%20(cm)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axf.set_ylabel(r%22ride%20frequency%20%24f%24%20(Hz)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axf.set_title(rf%22%24s%20%3D%20%7B_s%7D%24%20N%2Fm%3A%20%20%20sag%20%7B100%20*%20_sag%3A.1f%7D%20cm%2C%20%20%20%24f%20%3D%20%7B_f%3A.2f%7D%24%20Hz%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axf.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_axf.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig2.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bs_slider%2C%20_fig2%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%201.%20A%20designer%20wants%20a%20soft%20ride%20at%20%24f%20%3D%201%24%20Hz.%20About%20how%20far%20must%20the%20car%20sink%3F%20And%20for%20a%20saloon%20racing%20car%20at%202%20Hz%3F%0A%20%20%20%202.%20Why%20can't%20a%20comfortable%20car%20simply%20have%20a%20very%20soft%20spring%2C%20say%20%24f%20%3D%200.3%24%20Hz%3F%0A%20%20%20%203.%20Racing%20cars%20sit%20very%20low%20to%20the%20ground.%20What%20does%20that%20force%20on%20their%20ride%20frequency%3F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20About%2025%20cm%20for%201%20Hz%2C%20about%206%20cm%20for%202%20Hz.%20A%20soft%20ride%20needs%20a%20lot%20of%20suspension%20travel.%0A%20%20%20%202.%20At%200.3%20Hz%2C%20%24%5Cdelta%20%5Capprox%202.8%24%20m.%20The%20spring%20would%20have%20to%20be%20squashed%20by%20almost%203%20m%20just%20to%20hold%20the%20car%20up%2C%20which%20no%20car%20has%20room%20for%2C%20and%20a%20hard%20bump%20would%20move%20the%20body%20by%20almost%20another%203%20m.%20Very%20slow%20up-and-down%20motion%20also%20makes%20people%20sick%3A%20motion%20sickness%20comes%20from%20vertical%20motion%20between%20about%200.1%20and%200.5%20Hz%20%5B2%5D.%0A%20%20%20%203.%20A%20car%20that%20sits%20a%20few%20centimetres%20off%20the%20ground%20can't%20let%20a%20hard%20bump%20move%20the%20body%20far%2C%20so%20%24%5Cdelta%24%20must%20be%20small%2C%20and%20then%20%24f%20%3D%20%5Csqrt%7Bg%2F%5Cdelta%7D%2F(2%5Cpi)%24%20is%20high%3A%20a%20stiff%2C%20harsh%20ride.%20Racing%20cars%20accept%20that%20for%20grip%20and%20handling.%20Cars%20with%20big%20wings%20are%20also%20pushed%20down%20hard%20by%20the%20air%20at%20speed%2C%20which%20needs%20stiffer%20springs%20still%3A%20hence%20their%203%E2%80%935%20Hz.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%20%E2%80%94%20the%20damper%3A%20how%20quickly%20the%20bounce%20dies%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20lecture%3A%20the%20car%20is%20**critically%20damped**%20when%20%24k%20%3D%20%5Comega%24%2C%20the%20repeated%20root.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(a)%2C%20on%20paper%20first.**%20Using%20%24k%20%3D%20c%2F(2m)%24%20and%20%24%5Comega%20%3D%20%5Csqrt%7Bs%2Fm%7D%24%2C%20find%20the%20damper%20strength%20%24c_%5Ctext%7Bcrit%7D%24%20that%20makes%20%24k%20%3D%20%5Comega%24%2C%20in%20terms%20of%20%24m%24%20and%20%24s%24.%20Then%20replace%20the%20first%20placeholder.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b).**%20Designers%20describe%20a%20damper%20by%20its%20**damping%20ratio**%20%24%5Czeta%20%3D%20c%2Fc_%5Ctext%7Bcrit%7D%24%20(%22zeta%22)%3A%200%20means%20no%20damper%2C%201%20means%20critical.%20Replace%20the%20second%20placeholder%20with%20%24%5Czeta%24%20for%20our%20car.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(c_car%2C%20m_car%2C%20np%2C%20s_car)%3A%0A%20%20%20%20c_crit%20%3D%202%20*%20np.sqrt(m_car%20*%20s_car)%0A%20%20%20%20zeta_car%20%3D%20c_car%20%2F%20c_crit%0A%20%20%20%20print(%22c%20for%20critical%20damping%3A%22%2C%20c_crit%2C%20%22N%20s%2Fm%22)%0A%20%20%20%20print(%22damping%20ratio%20of%20our%20car%3A%22%2C%20zeta_car)%0A%20%20%20%20print(%22roots%20at%20critical%20damping%3A%22%2C%20np.roots(%5B1%2C%20c_crit%20%2F%20m_car%2C%20s_car%20%2F%20m_car%5D))%0A%20%20%20%20return%20(c_crit%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%0A%0A%20%20%20%20%24c%2F(2m)%20%3D%20%5Csqrt%7Bs%2Fm%7D%24%20gives%20%24c_%5Ctext%7Bcrit%7D%20%3D%202%5Csqrt%7Bms%7D%20%3D%206400%24%20N%20s%2Fm%2C%20and%20both%20roots%20are%20(about)%20%24-8%24.%20Our%20car%20has%20%24%5Czeta%20%3D%201600%2F6400%20%3D%200.25%24.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20Real%20cars%20%5B1%5D%3A%20passenger%20cars%20use%20a%20damping%20ratio%20of%20about%20**0.25**%2C%20chosen%20for%20comfort.%20Racing%20cars%20use%20about%20**0.65%E2%80%930.7**%2C%20for%20better%20control%20of%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20The%20slider%20sets%20the%20damper%20strength%20%24c%24.%20The%20title%20of%20the%20graph%20shows%20two%20numbers%20a%20designer%20cares%20about%3A%20the%20**overshoot**%20(how%20far%20the%20body%20flies%20past%20rest%2C%20upwards)%20and%20the%20**settling%20time**%20(when%20it%20stays%20within%200.5%20cm%20of%20rest%20for%20good%3A%20the%20green%20band).%0A%0A%20%20%20%20**Before%20you%20use%20the%20slider%3A**%20which%20damping%20ratio%20do%20you%20think%20gives%20the%20shortest%20settling%20time%3F%20Is%20it%20critical%20damping%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20c_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2012800%2C%20step%3D320%2C%20value%3D1600%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Damper%20strength%20%24c%24%20(N%20s%2Fm)%22)%0A%20%20%20%20t_damp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%203.0%2C%20step%3D0.02%2C%20value%3D3.0%2C%20label%3Dr%22Time%20%24t%24%20(s)%22)%0A%20%20%20%20return%20c_slider%2C%20t_damp_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20c_crit%2C%0A%20%20%20%20c_slider%2C%0A%20%20%20%20draw_car%2C%0A%20%20%20%20follow_two_arrows%2C%0A%20%20%20%20m_car%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20s_car%2C%0A%20%20%20%20t_damp_slider%2C%0A%20%20%20%20y0_car%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20c_slider.value%0A%20%20%20%20_t_now3%20%3D%20t_damp_slider.value%0A%0A%20%20%20%20def%20_acc_slider(t%2C%20y%2C%20v)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-(_c%20*%20v%20%2B%20s_car%20*%20y)%20%2F%20m_car%0A%0A%20%20%20%20_t3%2C%20_y3%20%3D%20follow_two_arrows(_acc_slider%2C%20y0_car%2C%200.0%2C%206.0%2C%20n_steps%3D12000)%0A%20%20%20%20_overshoot%20%3D%20max(0.0%2C%20-100%20*%20_y3.min())%0A%20%20%20%20_outside%20%3D%20np.where(np.abs(_y3)%20%3E%3D%200.005)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_settle%20%3D%20_t3%5B_outside%5B-1%5D%5D%20if%20len(_outside)%20%3E%200%20else%200.0%0A%20%20%20%20_settle_text%20%3D%20f%22%7B_settle%3A.2f%7D%20s%22%20if%20_settle%20%3C%205.9%20else%20%22more%20than%206%20s%22%0A%20%20%20%20_y_now3%20%3D%20np.interp(_t_now3%2C%20_t3%2C%20_y3)%0A%0A%20%20%20%20_fig3%2C%20(_axc3%2C%20_axg3)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(11%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B%22width_ratios%22%3A%20%5B1%2C%201.6%5D%7D)%0A%20%20%20%20draw_car(_axc3%2C%20_y_now3)%0A%20%20%20%20if%20c_crit%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axc3.set_title(rf%22%24%5Czeta%20%3D%20c%20%2F%20c_%5Cmathrm%7B%7Bcrit%7D%7D%20%3D%20%7B_c%20%2F%20c_crit%3A.2f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axc3.set_title(r%22(fill%20in%20c_crit%20to%20see%20%24%5Czeta%24)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_past3%20%3D%20_t3%20%3C%3D%20_t_now3%0A%20%20%20%20_axg3.axhspan(-0.5%2C%200.5%2C%20color%3D%22%231e8449%22%2C%20alpha%3D0.15)%0A%20%20%20%20_axg3.plot(_t3%2C%20100%20*%20_y3%2C%20color%3D%22lightgrey%22%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20_axg3.plot(_t3%5B_past3%5D%2C%20100%20*%20_y3%5B_past3%5D%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_axg3.plot(_t_now3%2C%20100%20*%20_y_now3%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20markersize%3D9)%0A%20%20%20%20_axg3.axhline(0%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20_axg3.set_xlim(0%2C%203)%0A%20%20%20%20_axg3.set_ylim(-5.5%2C%205.5)%0A%20%20%20%20_axg3.set_xlabel(r%22%24t%24%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg3.set_ylabel(r%22%24y%24%20(cm%20below%20rest)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg3.set_title(f%22c%20%3D%20%7B_c%7D%3A%20%20%20overshoot%20%7B_overshoot%3A.2f%7D%20cm%2C%20%20%20settles%20in%20%7B_settle_text%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg3.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig3.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bc_slider%2C%20t_damp_slider%2C%20_fig3%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%20Use%20the%20slider%2C%20and%20write%20down%20the%20overshoot%20and%20settling%20time%20each%20time.%0A%0A%20%20%20%201.%20Our%20car%2C%20%24c%20%3D%201600%24%20(%24%5Czeta%20%3D%200.25%24).%0A%20%20%20%202.%20Critical%20damping%2C%20%24c%20%3D%206400%24%20(%24%5Czeta%20%3D%201%24)%2C%20and%20twice%20that%2C%20%24c%20%3D%2012800%24.%20Does%20more%20damping%20always%20help%3F%0A%20%20%20%203.%20Find%20the%20damping%20ratio%20that%20settles%20fastest.%20Compare%20it%20with%20what%20racing%20cars%20use.%0A%20%20%20%204.%20A%20worn-out%20damper%20is%20weaker.%20Try%20%24c%20%3D%20320%24%20(%24%5Czeta%20%3D%200.05%24).%20What%20does%20the%20car%20do%20after%20a%20bump%3F%0A%20%20%20%205.%20If%20%24%5Czeta%20%3D%200.25%24%20overshoots%20and%20takes%20longer%20to%20settle%2C%20why%20would%20a%20car%20maker%20choose%20it%3F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%20(open%20after%20you%20have%20answered)%0A%0A%20%20%20%201.%20Overshoot%20about%202.2%20cm%20(the%20second%20number%20in%20the%20Exercise%200%20data)%3B%20it%20settles%20in%20about%200.95%20s.%0A%20%20%20%202.%20At%20%24%5Czeta%20%3D%201%24%3A%20no%20overshoot%2C%20settles%20in%20about%200.5%20s.%20At%20%24%5Czeta%20%3D%202%24%3A%20still%20no%20overshoot%2C%20but%20slower%2C%20about%201.1%20s.%20Too%20much%20damping%20makes%20the%20car%20creep%20back%2C%20because%20one%20root%20of%20the%20auxiliary%20equation%20gets%20close%20to%200%20(as%20in%20the%20lecture's%20roots%20picture).%0A%20%20%20%203.%20With%20our%200.5%20cm%20band%2C%20about%20%24%5Czeta%20%3D%200.6%24%2C%20settling%20in%200.29%20s%2C%20and%20anything%20up%20to%200.7%20settles%20in%20about%200.3%20s%3A%20faster%20than%20critical%2C%20because%20a%20small%20overshoot%20that%20stays%20inside%20the%20band%20costs%20nothing.%20Notice%20the%20jump%20between%20%24%5Czeta%20%3D%200.55%24%20(0.56%20s)%20and%20%240.6%24%20(0.29%20s)%3A%20that%20is%20where%20the%20overshoot%2C%200.47%20cm%2C%20first%20fits%20inside%20the%20band.%20So%20the%20best%20value%20depends%20on%20what%20you%20call%20%22settled%22%3A%20with%20a%200.1%20cm%20band%20it%20is%20about%20%24%5Czeta%20%3D%200.78%24.%20What%20doesn't%20change%20is%20that%20the%20fastest%20is%20*below*%20critical%20damping.%20Engineers%20often%20call%20a%20system%20settled%20once%20it%20stays%20within%205%25%20of%20its%20starting%20push%3B%20for%20that%20band%20the%20fastest%20is%20%24%5Czeta%20%5Capprox%200.69%24%2C%20where%20the%20overshoot%20is%20exactly%205%25.%20Racing%20cars%20use%200.65%E2%80%930.7%20%5B1%5D%2C%20close%20to%20the%20fastest%20settling%2C%20to%20keep%20the%20body%20under%20control.%0A%20%20%20%204.%20It%20keeps%20bouncing%20for%20several%20seconds.%0A%20%20%20%205.%20The%20damper's%20force%20is%20%24c%20%5Ctimes%24%20speed.%20Every%20bump%20in%20the%20road%20moves%20the%20wheel%20quickly%2C%20and%20a%20strong%20damper%20passes%20that%20straight%20into%20the%20body%3A%20a%20harsh%20ride.%20A%20weak%20damper%20lets%20the%20wheel%20move%20over%20small%20bumps%20without%20shaking%20the%20passengers%2C%20at%20the%20price%20of%20some%20bounce.%20Exercise%205%20measures%20this.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%20%E2%80%94%20load%20the%20car%20up%0A%0A%20%20%20%20Four%20adults%20and%20their%20luggage%20add%20about%20400%20kg%2C%20so%20about%20100%20kg%20on%20each%20corner.%20The%20spring%20and%20damper%20stay%20the%20same.%0A%0A%20%20%20%20**Before%20you%20compute%3A**%20will%20the%20loaded%20car%20bounce%20faster%20or%20slower%3F%20Will%20it%20be%20more%20or%20less%20damped%3F%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Replace%20the%20three%20placeholders%20for%20the%20loaded%20car.%20Use%20the%20same%20formulas%20as%20in%20Exercises%202%20and%203%2C%20with%20%60m_loaded%60%20instead%20of%20%60m_car%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(c_car%2C%20g_acc%2C%20np%2C%20s_car)%3A%0A%20%20%20%20m_loaded%20%3D%20500.0%20%20%20%20%23%20kg%20on%20one%20corner%2C%20with%20passengers%20and%20luggage%0A%0A%20%20%20%20f_loaded%20%3D%20np.sqrt(s_car%20%2F%20m_loaded)%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%0A%20%20%20%20sag_loaded%20%3D%20m_loaded%20*%20g_acc%20%2F%20s_car%0A%20%20%20%20zeta_loaded%20%3D%20c_car%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(m_loaded%20*%20s_car))%0A%20%20%20%20print(%22ride%20frequency%3A%22%2C%20f_loaded%2C%20%22Hz%22)%0A%20%20%20%20print(%22sag%3A%22%2C%20sag_loaded%2C%20%22m%22)%0A%20%20%20%20print(%22damping%20ratio%3A%22%2C%20zeta_loaded)%0A%20%20%20%20return%20(m_loaded%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20c_car%2C%0A%20%20%20%20follow_two_arrows%2C%0A%20%20%20%20m_car%2C%0A%20%20%20%20m_loaded%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20s_car%2C%0A%20%20%20%20t_push%2C%0A%20%20%20%20y0_car%2C%0A%20%20%20%20y_push%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20def%20_acc_loaded(t%2C%20y%2C%20v)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-(c_car%20*%20v%20%2B%20s_car%20*%20y)%20%2F%20m_loaded%0A%0A%20%20%20%20_t4%2C%20_y4%20%3D%20follow_two_arrows(_acc_loaded%2C%20y0_car%2C%200.0%2C%203.0)%0A%20%20%20%20_fig4%2C%20_ax4%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%203.6))%0A%20%20%20%20_ax4.plot(t_push%2C%20100%20*%20y_push%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Df%22empty%2C%20%7Bm_car%3A.0f%7D%20kg%22)%0A%20%20%20%20_ax4.plot(_t4%2C%20100%20*%20_y4%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22loaded%2C%20%7Bm_loaded%3A.0f%7D%20kg%22)%0A%20%20%20%20_ax4.axhline(0%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax4.set_xlim(0%2C%203)%0A%20%20%20%20_ax4.set_ylim(-5.5%2C%205.5)%0A%20%20%20%20_ax4.set_xlabel(r%22%24t%24%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax4.set_ylabel(r%22%24y%24%20(cm%20below%20rest)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax4.set_title(%22Each%20corner%20pushed%20down%205%20cm%20and%20let%20go%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax4.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_ax4.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig4.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_fig4%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%20and%20discussion%0A%0A%20%20%20%20%24f%20%5Capprox%201.14%24%20Hz%20(down%20from%201.27)%2C%20sag%20%24%5Capprox%2019%24%20cm%20(up%20from%2015)%20and%20%24%5Czeta%20%5Capprox%200.22%24%20(down%20from%200.25).%20The%20loaded%20car%20bounces%20more%20slowly%2C%20sits%204%20cm%20lower%20and%20is%20less%20damped%2C%20so%20it%20bounces%20for%20longer%3A%20compare%20the%20two%20curves.%0A%0A%20%20%20%20Both%20changes%20come%20straight%20from%20the%20formulas%3A%20%24f%20%3D%20%5Csqrt%7Bs%2Fm%7D%2F(2%5Cpi)%24%20and%20%24%5Czeta%20%3D%20c%2F(2%5Csqrt%7Bms%7D)%24%20both%20go%20down%20as%20%24m%24%20goes%20up.%20In%20the%20same%20way%2C%20a%20stiffer%20spring%20with%20the%20same%20damper%20lowers%20%24%5Czeta%24%2C%20because%20%24s%24%20sits%20under%20the%20square%20root%20too%3A%20the%20car%20is%20relatively%20less%20damped.%20Sitting%20lower%20matters%20too%3A%20less%20travel%20is%20left%20before%20the%20suspension%20hits%20its%20stops.%20That%20is%20why%20some%20cars%20have%20self-levelling%20suspension%2C%20which%20raises%20the%20car%20back%20to%20its%20normal%20height%20when%20it%20is%20loaded.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%205%20(if%20you%20have%20time)%20%E2%80%94%20a%20wavy%20road%0A%0A%20%20%20%20Now%20drive%20the%20car%20along%20a%20road%20with%20gentle%20waves%2010%20m%20apart%2C%20rising%20and%20dipping%202%20cm%20either%20side%20of%20level.%20We%20treat%20the%20tyre%20as%20rigid%2C%20so%20the%20wheel%20follows%20the%20road%20exactly%2C%20and%20the%20spring%20and%20damper%20push%20on%20the%20difference%20between%20the%20body's%20movement%20and%20the%20wheel's.%20At%20speed%20%24V%24%20(in%20m%2Fs)%20the%20wheel%20meets%20a%20wave%20every%20%2410%2FV%24%20seconds%2C%20so%20the%20road%20shakes%20the%20wheel%20up%20and%20down%20%24V%2F10%24%20times%20per%20second.%20This%20is%20a%20**forced**%20oscillator%2C%20as%20in%20Sections%204.10%E2%80%934.11%20of%20the%20notes%3A%20the%20road%20is%20the%20forcing.%0A%0A%20%20%20%20After%20the%20first%20few%20bounces%20die%20away%20(the%20complementary%20function%2C%20which%20decays%20because%20the%20roots%20have%20negative%20real%20part)%2C%20the%20body%20settles%20into%20a%20steady%20bounce%20at%20the%20road's%20frequency%3A%20that%20steady%20bounce%20is%20the%20**particular%20integral**.%20Engineers%20compare%20dampers%20using%20the%20ratio%20%5C%5B%5Ctext%7Btransmissibility%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bsize%20of%20the%20body's%20steady%20bounce%7D%7D%7B%5Ctext%7Bsize%20of%20the%20road's%20waves%7D%7D%5C%5D%20%5B3%5D.%20The%20right-hand%20plot%20shows%20it%20at%20every%20speed%2C%20for%20the%20comfort%20damper%20(%24%5Czeta%20%3D%200.25%24%2C%20our%20car)%20and%20a%20sporty%20one%20(%24%5Czeta%20%3D%200.7%24).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20speed_slider%20%3D%20mo.ui.slider(10%2C%20130%2C%20step%3D5%2C%20value%3D30%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Speed%20(km%2Fh)%22)%0A%20%20%20%20damper_choice%20%3D%20mo.ui.dropdown(options%3D%7B%22comfort%2C%20%CE%B6%20%3D%200.25%22%3A%200.25%2C%20%22sporty%2C%20%CE%B6%20%3D%200.7%22%3A%200.7%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22comfort%2C%20%CE%B6%20%3D%200.25%22%2C%20label%3D%22Damper%22)%0A%20%20%20%20t_road_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%208.0%2C%20step%3D0.02%2C%20value%3D8.0%2C%20label%3Dr%22Time%20%24t%24%20(s)%22)%0A%20%20%20%20return%20damper_choice%2C%20speed_slider%2C%20t_road_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20damper_choice%2C%0A%20%20%20%20draw_car%2C%0A%20%20%20%20follow_two_arrows%2C%0A%20%20%20%20m_car%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20s_car%2C%0A%20%20%20%20speed_slider%2C%0A%20%20%20%20t_road_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_wave_length%20%3D%2010.0%20%20%20%20%23%20m%20between%20waves%0A%20%20%20%20_depth%20%3D%200.02%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20m%2C%20how%20far%20the%20road%20dips%20at%20a%20wave%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20speed_slider.value%20%2F%203.6%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20km%2Fh%20to%20m%2Fs%0A%20%20%20%20_Om%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20_V%20%2F%20_wave_length%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20angular%20frequency%20of%20the%20road%20(rad%2Fs)%0A%20%20%20%20_zeta5%20%3D%20damper_choice.value%0A%20%20%20%20_c5%20%3D%20_zeta5%20*%202%20*%20np.sqrt(m_car%20*%20s_car)%0A%20%20%20%20_t_now5%20%3D%20t_road_slider.value%0A%0A%20%20%20%20def%20_road(t)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_depth%20*%20np.cos(_Om%20*%20t)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20how%20far%20the%20road%20under%20the%20wheel%20dips%0A%0A%20%20%20%20def%20_road_speed(t)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-_depth%20*%20_Om%20*%20np.sin(_Om%20*%20t)%0A%0A%20%20%20%20def%20_acc_road(t%2C%20y%2C%20v)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20spring%20and%20damper%20now%20push%20on%20the%20difference%20between%20body%20and%20wheel%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(s_car%20*%20(_road(t)%20-%20y)%20%2B%20_c5%20*%20(_road_speed(t)%20-%20v))%20%2F%20m_car%0A%0A%20%20%20%20_t5%2C%20_y5%20%3D%20follow_two_arrows(_acc_road%2C%200.0%2C%200.0%2C%208.0%2C%20n_steps%3D16000)%0A%20%20%20%20_y_now5%20%3D%20np.interp(_t_now5%2C%20_t5%2C%20_y5)%0A%20%20%20%20_steady%20%3D%20100%20*%20np.max(np.abs(_y5%5B_t5%20%3E%206%5D))%0A%0A%20%20%20%20%23%20transmissibility%20from%20the%20PI%2C%20for%20both%20dampers%0A%20%20%20%20_omega5%20%3D%20np.sqrt(s_car%20%2F%20m_car)%0A%20%20%20%20_speeds%20%3D%20np.linspace(5%2C%20135%2C%20500)%0A%20%20%20%20_r%20%3D%20(2%20*%20np.pi%20*%20(_speeds%20%2F%203.6)%20%2F%20_wave_length)%20%2F%20_omega5%0A%0A%20%20%20%20def%20_trans(r%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.sqrt((1%20%2B%20(2%20*%20zeta%20*%20r)**2)%20%2F%20((1%20-%20r**2)**2%20%2B%20(2%20*%20zeta%20*%20r)**2))%0A%0A%20%20%20%20_fig5%2C%20(_axc5%2C%20_axg5%2C%20_axt5)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%203%2C%20figsize%3D(14%2C%204.2)%2C%20gridspec_kw%3D%7B%22width_ratios%22%3A%20%5B1%2C%201.5%2C%201.5%5D%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20left%3A%20the%20car%20on%20the%20road%3B%20the%20road%20drawn%20squeezed%20sideways%20(20%20m%20across%20the%20picture)%0A%20%20%20%20_xpic%20%3D%20np.linspace(-90%2C%2090%2C%20300)%0A%20%20%20%20_xreal%20%3D%20_xpic%20*%2020%20%2F%20180%0A%20%20%20%20_u_pic%20%3D%20_depth%20*%20np.cos(2%20*%20np.pi%20*%20(_xreal%20%2B%20_V%20*%20_t_now5)%20%2F%20_wave_length)%0A%20%20%20%20draw_car(_axc5%2C%20_y_now5%2C%20road_x%3D_xpic%2C%20road_u%3D_u_pic%2C%20road_dip%3D_road(_t_now5))%0A%20%20%20%20_axc5.set_title(%22road%20squeezed%20sideways%2C%5Cnmovement%20drawn%204%C3%97%20bigger%22%2C%20fontsize%3D10)%0A%0A%20%20%20%20%23%20middle%3A%20road%20and%20body%20against%20time%0A%20%20%20%20_axg5.plot(_t5%2C%20100%20*%20_road(_t5)%2C%20color%3D%22%23555%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20label%3D%22road%20under%20the%20wheel%22)%0A%20%20%20%20_axg5.plot(_t5%5B_t5%20%3C%3D%20_t_now5%5D%2C%20100%20*%20_y5%5B_t5%20%3C%3D%20_t_now5%5D%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20linewidth%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22car%20body%22)%0A%20%20%20%20_axg5.plot(_t_now5%2C%20100%20*%20_y_now5%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20markersize%3D8)%0A%20%20%20%20_axg5.set_xlim(0%2C%208)%0A%20%20%20%20_axg5.set_ylim(-6%2C%206)%0A%20%20%20%20_axg5.set_xlabel(r%22%24t%24%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg5.set_ylabel(%22cm%20below%20level%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axg5.set_title(f%22%7Bspeed_slider.value%7D%20km%2Fh%3A%20steady%20bounce%20%7B_steady%3A.1f%7D%20cm%20(road%202%20cm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_axg5.legend(fontsize%3D9%2C%20loc%3D%22upper%20center%22%2C%20bbox_to_anchor%3D(0.5%2C%20-0.17)%2C%20ncol%3D2)%0A%20%20%20%20_axg5.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20right%3A%20transmissibility%20against%20speed%0A%20%20%20%20_axt5.plot(_speeds%2C%20_trans(_r%2C%200.25)%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22comfort%2C%20%24%5Czeta%20%3D%200.25%24%22)%0A%20%20%20%20_axt5.plot(_speeds%2C%20_trans(_r%2C%200.7)%2C%20color%3D%22%23b9770e%22%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22sporty%2C%20%24%5Czeta%20%3D%200.7%24%22)%0A%20%20%20%20_r_now%20%3D%20_Om%20%2F%20_omega5%0A%20%20%20%20_axt5.plot(speed_slider.value%2C%20_trans(_r_now%2C%20_zeta5)%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20markersize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_axt5.axhline(1%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20_axt5.set_xlim(5%2C%20135)%0A%20%20%20%20_axt5.set_ylim(0%2C%202.6)%0A%20%20%20%20_axt5.set_xlabel(%22speed%20(km%2Fh)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axt5.set_ylabel(%22transmissibility%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axt5.set_title(%22body%20bounce%20%C3%B7%20road%20waves%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_axt5.legend(fontsize%3D9%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_axt5.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig5.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bspeed_slider%2C%20damper_choice%2C%20t_road_slider%2C%20_fig5%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%201.%20At%20what%20speed%20does%20the%20body%20bounce%20most%3F%20Show%20that%20at%20this%20speed%20the%20road%20shakes%20the%20wheel%20at%20about%20the%20car's%20ride%20frequency%2C%20%24f%20%5Capprox%201.27%24%20Hz.%0A%20%20%20%202.%20At%2010%20km%2Fh%2C%20how%20big%20is%20the%20body's%20bounce%20compared%20with%20the%20road's%20waves%3F%20Why%20does%20that%20make%20sense%3F%0A%20%20%20%203.%20At%20110%20km%2Fh%2C%20which%20damper%20lets%20less%20of%20the%20road%20into%20the%20car%3F%20And%20at%20the%20worst%20speed%3F%0A%20%20%20%204.%20Use%20your%20answers%20to%20explain%20why%20passenger%20cars%20choose%20a%20low%20damping%20ratio%20and%20racing%20cars%20a%20high%20one.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20About%2045%20km%2Fh.%20That%20is%20%24V%20%3D%2012.5%24%20m%2Fs%2C%20so%20the%20wheel%20meets%20%2412.5%2F10%20%3D%201.25%24%20waves%20per%20second%3A%20the%20road%20pushes%20at%20almost%20exactly%20the%20frequency%20the%20car%20likes%20to%20bounce%20at.%20This%20is%20**resonance**%2C%20and%20with%20the%20comfort%20damper%20the%20body%20bounces%20more%20than%20twice%20as%20much%20as%20the%20road.%0A%20%20%20%202.%20About%20the%20same%20size%3A%20transmissibility%20close%20to%201.%20Driving%20slowly%2C%20the%20whole%20car%20just%20rides%20up%20and%20down%20the%20gentle%20waves%2C%20as%20if%20there%20were%20no%20suspension.%0A%20%20%20%203.%20At%20110%20km%2Fh%20the%20comfort%20damper%20passes%20about%200.3%20of%20the%20road's%20waves%20into%20the%20body%2C%20the%20sporty%20one%20about%200.6%3A%20the%20comfort%20damper%20is%20twice%20as%20smooth.%20Near%2045%20km%2Fh%20it%20is%20the%20other%20way%20round%2C%20and%20the%20sporty%20damper%20keeps%20the%20bounce%20much%20smaller.%20The%20two%20curves%20cross%20at%20about%2065%20km%2Fh%2C%20and%20so%20does%20every%20other%20damper's%20curve%3A%20the%20transmissibility%20is%20exactly%201%20at%20%24r%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%24%20whatever%20%24%5Czeta%24%20is%20(see%20the%20optional%20fold-out%20below)%2C%20which%20here%20is%2064.8%20km%2Fh.%0A%20%20%20%204.%20More%20damping%20only%20helps%20near%20resonance%3B%20above%20the%20crossing%20speed%20it%20makes%20the%20ride%20*harsher*.%20A%20passenger%20car%20spends%20most%20of%20its%20time%20cruising%2C%20with%20small%20bumps%20shaking%20it%20quickly%2C%20so%20it%20is%20tuned%20for%20that%20and%20accepts%20some%20bounce%20near%20resonance.%20A%20racing%20car%20cares%20more%20about%20keeping%20the%20body%20under%20control%20than%20about%20comfort.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Where%20the%20transmissibility%20formula%20comes%20from%20(optional)%0A%0A%20%20%20%20The%20spring%20and%20damper%20push%20on%20the%20difference%20between%20the%20body%20and%20the%20road%20under%20the%20wheel%2C%20%24u(t)%20%3D%20a%5Ccos%5COmega%20t%24%3A%20%5C%5Bm%5C%2Cy''%20%2B%20c%5C%2Cy'%20%2B%20s%5C%2Cy%20%3D%20s%5C%2Cu%20%2B%20c%5C%2Cu'.%5C%5D%20The%20right-hand%20side%20is%20a%20combination%20of%20%24%5Ccos%5COmega%20t%24%20and%20%24%5Csin%5COmega%20t%24%2C%20so%20the%20trial%20PI%20is%20%24y_p%20%3D%20A%5Ccos%5COmega%20t%20%2B%20B%5Csin%5COmega%20t%24%20(Section%204.10).%20Substituting%20and%20solving%20for%20%24A%24%20and%20%24B%24%20gives%20a%20steady%20bounce%20of%20size%20%24%5Csqrt%7BA%5E2%20%2B%20B%5E2%7D%24.%20Dividing%20by%20%24a%24%3A%20%5C%5B%5Ctext%7Btransmissibility%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%20%2B%20(2%5Czeta%20r)%5E2%7D%7B(1%20-%20r%5E2)%5E2%20%2B%20(2%5Czeta%20r)%5E2%7D%7D%2C%20%5Cqquad%20r%20%3D%20%5Cfrac%7B%5COmega%7D%7B%5Comega%7D.%5C%5D%20Check%3A%20at%20%24r%20%3D%200%24%20it%20is%201%2C%20and%20as%20%24r%24%20gets%20large%20it%20goes%20to%200.%20At%20%24r%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%24%2C%20%24(1%20-%20r%5E2)%5E2%20%3D%201%24%2C%20so%20the%20top%20and%20bottom%20are%20equal%20and%20the%20transmissibility%20is%20exactly%201%20for%20every%20%24%5Czeta%24%3A%20below%20that%20speed%20more%20damping%20means%20less%20bounce%2C%20above%20it%20more.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Extra%20%E2%80%94%20check%20the%20formula%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20car%20of%20Exercise%201%2C%20the%20general%20solution%20with%20complex%20roots%20%24-k%20%5Cpm%20ip%24%2C%20where%20%24p%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Comega%5E2%20-%20k%5E2%7D%24%2C%20is%20%5C%5By(t)%20%3D%20e%5E%7B-kt%7D%5Cbigl(c_1%5Ccos%20pt%20%2B%20c_2%5Csin%20pt%5Cbigr).%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(a)%2C%20on%20paper.**%20Use%20%24y(0)%20%3D%20y_0%24%20and%20%24y'(0)%20%3D%200%24%20to%20find%20%24c_1%24%20and%20%24c_2%24%20in%20terms%20of%20%24y_0%24%2C%20%24k%24%20and%20%24p%24.%20(Section%203.1%20of%20the%20lecture%20did%20this%20with%20%24y_0%20%3D%201%24.)%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b).**%20Turn%20it%20into%20code%3A%20replace%20the%20four%20placeholders.%20%60k_formula%60%20is%20%24k%20%3D%20c%2F(2m)%24%20from%20Exercise%201.%20If%20your%20formula%20is%20right%2C%20the%20red%20curve%20sits%20on%20top%20of%20the%20loop's%20curve.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(c_car%2C%20m_car%2C%20np%2C%20omega_car%2C%20y0_car)%3A%0A%20%20%20%20t_car%20%3D%20np.linspace(0%2C%203%2C%201501)%0A%20%20%20%20k_formula%20%3D%20c_car%20%2F%20(2%20*%20m_car)%0A%0A%20%20%20%20p_car%20%3D%20np.sqrt(omega_car**2%20-%20k_formula**2)%0A%20%20%20%20c1_car%20%3D%20y0_car%0A%20%20%20%20c2_car%20%3D%20k_formula%20*%20y0_car%20%2F%20p_car%0A%20%20%20%20y_by_formula%20%3D%20np.exp(-k_formula%20*%20t_car)%20*%20(c1_car%20*%20np.cos(p_car%20*%20t_car)%20%2B%20c2_car%20*%20np.sin(p_car%20*%20t_car))%0A%20%20%20%20return%20t_car%2C%20y_by_formula%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20plt%2C%20t_car%2C%20t_push%2C%20y_by_formula%2C%20y_push)%3A%0A%20%20%20%20_fig6%2C%20_ax6%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%203.6))%0A%20%20%20%20_ax6.plot(t_push%2C%20100%20*%20y_push%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D5%2C%20alpha%3D0.35%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22follow_two_arrows%20(no%20formula)%22)%0A%20%20%20%20_ax6.plot(t_car%2C%20100%20*%20y_by_formula%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20linewidth%3D1.8%2C%20label%3D%22your%20formula%22)%0A%20%20%20%20_ax6.axhline(0%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax6.set_xlim(0%2C%203)%0A%20%20%20%20_ax6.set_ylim(-5.5%2C%205.5)%0A%20%20%20%20_ax6.set_xlabel(r%22%24t%24%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax6.set_ylabel(r%22%24y%24%20(cm%20below%20rest)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax6.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_ax6.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig6.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_fig6%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%0A%0A%20%20%20%20%24y(0)%20%3D%20c_1%20%3D%20y_0%24.%20Differentiating%2C%20%24y'(0)%20%3D%20-kc_1%20%2B%20pc_2%20%3D%200%24%2C%20so%20%24c_2%20%3D%20k%20y_0%2Fp%24.%20In%20code%3A%20%60p_car%20%3D%20np.sqrt(omega_car**2%20-%20k_formula**2)%60%2C%20%60c1_car%20%3D%20y0_car%60%2C%20%60c2_car%20%3D%20k_formula%20*%20y0_car%20%2F%20p_car%60%2C%20and%20%60y_by_formula%20%3D%20np.exp(-k_formula%20*%20t_car)%20*%20(c1_car%20*%20np.cos(p_car%20*%20t_car)%20%2B%20c2_car%20*%20np.sin(p_car%20*%20t_car))%60.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%5B1%5D%20M.%20Giaraffa%2C%20*Tech%20Tip%3A%20Springs%20%26%20Dampers*%2C%20Parts%20One%20and%20Three%2C%20OptimumG%20(vehicle%20dynamics%20consultancy).%20Ride%20frequencies%3A%20Part%20One.%20Damping%20ratios%3A%20Part%20Three.%0A%0A%20%20%20%20%5B2%5D%20ISO%202631-1%3A1997%2C%20*Mechanical%20vibration%20and%20shock%20%E2%80%94%20Evaluation%20of%20human%20exposure%20to%20whole-body%20vibration%20%E2%80%94%20Part%201%3A%20General%20requirements*%2C%20Annex%20D%20(motion%20sickness).%0A%0A%20%20%20%20%5B3%5D%20M.%20Giaraffa%20and%20S.%20Brisson%2C%20*Tech%20Tip%3A%20Springs%20%26%20Dampers*%2C%20Episode%20Four%2C%20OptimumG%20(transmissibility).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A