Week 4 Lab (Answers) — Direction fields and Euler's method

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Week%204%20Lab%20(Answers)%20%E2%80%94%20Direction%20fields%20and%20Euler's%20method%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%204%20lab%20%E2%80%94%20Direction%20fields%20and%20Euler's%20method%20%E2%80%94%20Answers%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**This%20is%20the%20answers%20version.**%20Every%20blank%20below%20contains%20the%20completed%20solution%2C%20for%20instructors%20and%20for%20checking%20your%20own%20work.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20lecture%20you%20saw%20that%20an%20ODE%20%24y'%20%3D%20f(t%2C%20y)%24%20is%20a%20rule%20that%20gives%20a%20slope%20at%20every%20point%2C%20and%20that%20a%20solution%20curve%20is%20found%20by%20following%20the%20arrows.%20Today%20you%20build%20every%20piece%20of%20that%20yourself%2C%20for%20a%20cup%20of%20coffee%20cooling%20in%20a%20room%20(Newton's%20law%20of%20cooling%2C%20from%20Week%202)%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20write%20the%20slope%20rule%20%24f%24%20as%20a%20Python%20function%2C%20and%20check%20it%20by%20hand%3B%0A%20%20%20%202.%20turn%20it%20into%20a%20direction%20field%3B%0A%20%20%20%203.%20trace%20the%20solution%20by%20following%20the%20arrows%2C%20and%20find%20out%20what%20goes%20wrong%20when%20the%20steps%20are%20too%20big%3B%0A%20%20%20%204.%20use%20the%20same%20tools%20on%20a%20problem%20where%20the%20room%20itself%20warms%20up.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Parameters%0A%0A%20%20%20%20You%20can%20change%20these%20at%20any%20point%3B%20everything%20below%20updates.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20k_cool%20%20%3D%200.1%20%20%20%20%20%23%20cooling%20rate%20(min%E2%81%BB%C2%B9)%0A%20%20%20%20T0_cool%20%3D%2085.0%20%20%20%20%23%20initial%20temperature%20of%20the%20coffee%20(%C2%B0C)%0A%20%20%20%20Tinf%20%20%20%20%3D%2020.0%20%20%20%20%23%20room%20temperature%20(%C2%B0C)%0A%20%20%20%20return%20T0_cool%2C%20Tinf%2C%20k_cool%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20draw_arrows(ax%2C%20t_grid%2C%20y_grid%2C%20rise%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20alpha%3D0.6)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Draw%20the%20arrow%20(1%2C%20rise)%20at%20every%20grid%20point%2C%20all%20the%20same%20length%20on%20screen.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%20%3D%20ax.figure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.apply_aspect()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20box%20%3D%20ax.get_position()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_lo%2C%20t_hi%20%3D%20ax.get_xlim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_lo%2C%20y_hi%20%3D%20ax.get_ylim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_per_inch%20%3D%20(t_hi%20-%20t_lo)%20%2F%20(fig.get_figwidth()%20*%20box.width)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_per_inch%20%3D%20(y_hi%20-%20y_lo)%20%2F%20(fig.get_figheight()%20*%20box.height)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rise%20%3D%20rise%20*%20np.ones_like(t_grid)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20measure%20each%20arrow%20in%20inches%20on%20screen%2C%20then%20scale%20to%20a%20fixed%20length%0A%20%20%20%20%20%20%20%20run_in%20%3D%20np.ones_like(t_grid)%20%2F%20t_per_inch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rise_in%20%3D%20rise%20%2F%20y_per_inch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_in%20%3D%20np.hypot(run_in%2C%20rise_in)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap_t_in%20%3D%20abs(t_grid%5B0%2C%201%5D%20-%20t_grid%5B0%2C%200%5D)%20%2F%20t_per_inch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap_y_in%20%3D%20abs(y_grid%5B1%2C%200%5D%20-%20y_grid%5B0%2C%200%5D)%20%2F%20y_per_inch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrow_inches%20%3D%200.7%20*%20min(gap_t_in%2C%20gap_y_in)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20U%20%3D%20run_in%20%2F%20length_in%20*%20arrow_inches%20*%20t_per_inch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V%20%3D%20rise_in%20%2F%20length_in%20*%20arrow_inches%20*%20y_per_inch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.quiver(t_grid%2C%20y_grid%2C%20U%2C%20V%2C%20angles%3D%22xy%22%2C%20scale_units%3D%22xy%22%2C%20scale%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pivot%3D%22mid%22%2C%20color%3Dcolor%2C%20alpha%3Dalpha%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D0.003%2C%20headwidth%3D3.5%2C%20headlength%3D4.5)%0A%0A%20%20%20%20return%20(draw_arrows%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%20%E2%80%94%20the%20slope%20rule%0A%0A%20%20%20%20Newton's%20law%20of%20cooling%20is%20%5C%5B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DT%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%20%3D%20-k%5C%2C(T%20-%20T_%5Cinfty).%5C%5D%20So%20the%20slope%20at%20the%20point%20%24(t%2C%20T)%24%20is%20%24f(t%2C%20T)%20%3D%20-k%5C%2C(T%20-%20T_%5Cinfty)%24%2C%20measured%20in%20%C2%B0C%20per%20minute.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(a)%2C%20on%20paper%20first.**%20With%20the%20default%20parameters%20(%24k%20%3D%200.1%24%2C%20%24T_%5Cinfty%20%3D%2020%24)%2C%20work%20out%20the%20slope%20at%20the%20three%20points%20%24(t%2C%20T)%20%3D%20(0%2C%2085)%24%2C%20%24(10%2C%2020)%24%20and%20%24(5%2C%2010)%24.%20For%20each%20one%2C%20say%20in%20words%20what%20the%20coffee%20is%20doing%20at%20that%20moment.%0A%0A%20%20%20%20**Task%20(b).**%20Complete%20the%20function%20%60f_cool%60%20below%20so%20that%20it%20returns%20%24f(t%2C%20T)%24.%20Use%20%60k_cool%60%20and%20%60Tinf%60.%20Then%20run%20the%20cell%20after%20it%20and%20compare%20with%20your%20hand%20calculations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Tinf%2C%20k_cool)%3A%0A%20%20%20%20def%20f_cool(t%2C%20T)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-k_cool%20*%20(T%20-%20Tinf)%0A%0A%20%20%20%20return%20(f_cool%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(f_cool)%3A%0A%20%20%20%20print(%22slope%20at%20(t%2C%20T)%20%3D%20(0%2C%2085)%3A%20%22%2C%20f_cool(0%2C%2085))%0A%20%20%20%20print(%22slope%20at%20(t%2C%20T)%20%3D%20(10%2C%2020)%3A%22%2C%20f_cool(10%2C%2020))%0A%20%20%20%20print(%22slope%20at%20(t%2C%20T)%20%3D%20(5%2C%2010)%3A%20%22%2C%20f_cool(5%2C%2010))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Check%20your%20hand%20calculations%20(open%20after%20you%20have%20tried)%0A%0A%20%20%20%20-%20%24(0%2C%2085)%24%3A%20%24-0.1%20%5Ctimes%20(85%20-%2020)%20%3D%20-6.5%24.%20The%20coffee%20is%20losing%206.5%20%C2%B0C%20per%20minute.%0A%20%20%20%20-%20%24(10%2C%2020)%24%3A%20%24-0.1%20%5Ctimes%20(20%20-%2020)%20%3D%200%24.%20The%20coffee%20is%20at%20room%20temperature%2C%20and%20its%20temperature%20is%20not%20changing.%0A%20%20%20%20-%20%24(5%2C%2010)%24%3A%20%24-0.1%20%5Ctimes%20(10%20-%2020)%20%3D%20%2B1%24.%20A%20drink%20colder%20than%20the%20room%20warms%20up%2C%20by%201%20%C2%B0C%20per%20minute.%0A%0A%20%20%20%20(If%20Python%20prints%20%60-0.0%60%2C%20that%20is%20just%20zero.)%20Notice%20that%20%24t%24%20never%20appears%20in%20the%20answer%3A%20only%20%24T%24%20matters.%20Keep%20that%20in%20mind%20for%20Exercise%202.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%20%E2%80%94%20from%20slopes%20to%20a%20direction%20field%0A%0A%20%20%20%20The%20cell%20below%20sets%20up%20a%20grid%20of%20points%3A%20every%205%20minutes%20from%20%24t%20%3D%200%24%20to%20%2460%24%2C%20and%20every%2010%20%C2%B0C%20from%20%24T%20%3D%200%24%20to%20%2490%24.%20%60t_grid%60%20and%20%60T_grid%60%20are%20tables%20holding%20the%20%24t%24%20and%20%24T%24%20value%20of%20every%20grid%20point.%0A%0A%20%20%20%20At%20each%20grid%20point%20we%20want%20the%20arrow%20%24(1%2C%5C%20f(t%2C%20T))%24%3A%20run%201%2C%20rise%20%24f%24.%20A%20NumPy%20function%20works%20on%20a%20whole%20table%20at%20once%2C%20just%20like%20on%20a%20single%20number.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Replace%20%60np.zeros_like(t_grid)%60%20with%20the%20rise%20of%20the%20arrow%20at%20every%20grid%20point.%20One%20line%20is%20enough.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(f_cool%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20t_grid%2C%20T_grid%20%3D%20np.meshgrid(np.linspace(0%2C%2060%2C%2013)%2C%20np.linspace(0%2C%2090%2C%2010))%0A%20%20%20%20T_rise%20%3D%20f_cool(t_grid%2C%20T_grid)%0A%20%20%20%20return%20T_grid%2C%20T_rise%2C%20t_grid%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(T_grid%2C%20T_rise%2C%20draw_arrows%2C%20plt%2C%20t_grid)%3A%0A%20%20%20%20_fig1%2C%20_ax1%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9%2C%205))%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(-2.5%2C%2062.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(-5%2C%2095)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(r%22%24t%24%20(min)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(r%22%24T%24%20(%C2%B0C)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(%22Direction%20field%20for%20Newton's%20law%20of%20cooling%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20_fig1.tight_layout()%0A%20%20%20%20draw_arrows(_ax1%2C%20t_grid%2C%20T_grid%2C%20T_rise%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20alpha%3D0.85)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(t_grid%2C%20T_grid%2C%20%22.%22%2C%20color%3D%22%23922b21%22%2C%20markersize%3D3)%0A%20%20%20%20_fig1%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%20Answer%20these%20from%20the%20picture%2C%20then%20check.%0A%0A%20%20%20%201.%20Along%20which%20horizontal%20line%20are%20the%20arrows%20flat%3F%20Why%20there%3F%0A%20%20%20%202.%20Pick%20one%20row%20of%20arrows%20and%20move%20along%20it%20from%20left%20to%20right.%20Do%20the%20arrows%20change%3F%20Which%20line%20of%20%60f_cool%60%20explains%20what%20you%20see%3F%0A%20%20%20%203.%20Compare%20the%20arrows%20at%2080%20%C2%B0C%20with%20those%20at%2030%20%C2%B0C.%20What%20does%20that%20tell%20you%20about%20how%20quickly%20very%20hot%20coffee%20cools%20compared%20with%20lukewarm%20coffee%3F%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%20(open%20after%20you%20have%20answered)%0A%0A%20%20%20%201.%20Along%20%24T%20%3D%2020%24%2C%20the%20room%20temperature%2C%20because%20%24f%20%3D%20-k(20%20-%2020)%20%3D%200%24%20there.%20A%20cup%20that%20is%20already%20at%20room%20temperature%20stays%20there.%0A%20%20%20%202.%20Every%20row%20is%20identical%3A%20the%20arrows%20do%20not%20depend%20on%20%24t%24%2C%20because%20%60f_cool%60%20never%20uses%20%60t%60.%20Physically%2C%20the%20coffee%20doesn't%20care%20what%20time%20it%20is%2C%20only%20how%20hot%20it%20is.%0A%20%20%20%203.%20The%20arrows%20at%2080%20%C2%B0C%20are%20much%20steeper%3A%20the%20slope%20is%20proportional%20to%20the%20gap%20%24T%20-%20T_%5Cinfty%24%2C%20so%20hot%20coffee%20cools%20fast%20at%20first%20and%20then%20slows%20down%20as%20it%20approaches%20room%20temperature.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%20%E2%80%94%20follow%20the%20arrows%0A%0A%20%20%20%20To%20draw%20a%20solution%20curve%3A%20start%20at%20%24(0%2C%20T_0)%24%2C%20look%20up%20the%20arrow%20there%2C%20take%20a%20step%20of%20length%20%24h%24%20(in%20the%20%24t%24%20direction)%20along%20it%2C%20look%20up%20the%20new%20arrow%2C%20and%20repeat.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20One%20line%20inside%20%60follow_arrows%60%20is%20missing.%20If%20you%20are%20at%20%24(t_%5Ctext%7Bnow%7D%2C%20T_%5Ctext%7Bnow%7D)%24%20and%20the%20slope%20there%20is%20%24f(t_%5Ctext%7Bnow%7D%2C%20T_%5Ctext%7Bnow%7D)%24%2C%20what%20is%20%24T%24%20after%20moving%20%24h%24%20to%20the%20right%20along%20the%20arrow%3F%20(Run%201%20gives%20rise%20%24f%24%2C%20so%20run%20%24h%24%20gives%20rise%20...%3F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20follow_arrows(f%2C%20t_start%2C%20T_start%2C%20t_stop%2C%20h)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Start%20at%20(t_start%2C%20T_start)%20and%20repeatedly%20step%20h%20along%20the%20arrow.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_steps%20%3D%20int(round((t_stop%20-%20t_start)%20%2F%20h))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_values%20%3D%20%5Bt_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T_values%20%3D%20%5BT_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20step%20in%20range(n_steps)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_now%20%3D%20t_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20T_now%20%3D%20T_values%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20T_next%20%3D%20T_now%20%2B%20h%20*%20f(t_now%2C%20T_now)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_values.append(t_now%20%2B%20h)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20T_values.append(T_next)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(t_values)%2C%20np.array(T_values)%0A%0A%20%20%20%20return%20(follow_arrows%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20h_cool_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.5%2C%2025.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Step%20size%20%24h%24%20(min)%22)%0A%20%20%20%20return%20(h_cool_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(T0_cool%2C%20f_cool%2C%20follow_arrows%2C%20h_cool_slider)%3A%0A%20%20%20%20t_traced%2C%20T_traced%20%3D%20follow_arrows(f_cool%2C%200.0%2C%20T0_cool%2C%2060.0%2C%20h_cool_slider.value)%0A%20%20%20%20return%20T_traced%2C%20t_traced%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20T0_cool%2C%0A%20%20%20%20T_traced%2C%0A%20%20%20%20Tinf%2C%0A%20%20%20%20draw_arrows%2C%0A%20%20%20%20f_cool%2C%0A%20%20%20%20h_cool_slider%2C%0A%20%20%20%20k_cool%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20t_traced%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_h%20%3D%20h_cool_slider.value%0A%20%20%20%20_t_exact%20%3D%20np.linspace(0%2C%2060%2C%20400)%0A%20%20%20%20_T_exact%20%3D%20Tinf%20%2B%20(T0_cool%20-%20Tinf)%20*%20np.exp(-k_cool%20*%20_t_exact)%0A%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(-5.0%2C%20T_traced.min()%20-%205)%0A%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20max(95.0%2C%20T_traced.max()%20%2B%205)%0A%0A%20%20%20%20_fig2%2C%20_ax2%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9%2C%205))%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(-2.5%2C%2062.5)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(r%22%24t%24%20(min)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(r%22%24T%24%20(%C2%B0C)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(rf%22Following%20the%20arrows%20with%20step%20%24h%20%3D%20%7B_h%3Ag%7D%24%20min%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20_fig2.tight_layout()%0A%20%20%20%20_tg2%2C%20_Tg2%20%3D%20np.meshgrid(np.linspace(0%2C%2060%2C%2013)%2C%20np.linspace(_y_lo%20%2B%205%2C%20_y_hi%20-%205%2C%2010))%0A%20%20%20%20draw_arrows(_ax2%2C%20_tg2%2C%20_Tg2%2C%20f_cool(_tg2%2C%20_Tg2)%2C%20alpha%3D0.45)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_t_exact%2C%20_T_exact%2C%20%22k--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Week%202%20formula%20%24T_%5Cinfty%20%2B%20(T_0%20-%20T_%5Cinfty)e%5E%7B-kt%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(t_traced%2C%20T_traced%2C%20%22o-%22%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D6%2C%20label%3D%22following%20the%20arrows%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(Tinf%2C%20color%3D%22tomato%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22room%2C%20%24T_%5Cinfty%20%3D%20%7BTinf%3Ag%7D%24%20%C2%B0C%22)%0A%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22best%22%2C%20framealpha%3D0.9)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bh_cool_slider%2C%20_fig2%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%20Use%20the%20slider.%0A%0A%20%20%20%201.%20With%20%24h%20%3D%200.5%24%2C%20how%20does%20the%20traced%20curve%20compare%20with%20the%20Week%202%20formula%20(dashed)%3F%20What%20happens%20as%20you%20increase%20%24h%24%20to%205%3F%0A%20%20%20%202.%20Set%20%24h%20%3D%2010%24.%20The%20very%20first%20step%20lands%20*exactly*%20on%20room%20temperature%20and%20stays%20there.%20Explain%20why%2C%20using%20the%20slope%20at%20the%20starting%20point%20from%20Exercise%201.%0A%20%20%20%203.%20Set%20%24h%20%3D%2015%24.%20The%20coffee%20becomes%20colder%20than%20the%20room%2C%20which%20is%20physically%20impossible.%20What%20went%20wrong%3F%20Then%20try%20%24h%20%3D%2025%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%20(open%20after%20you%20have%20answered)%0A%0A%20%20%20%201.%20With%20small%20%24h%24%20the%20dots%20sit%20on%20the%20dashed%20curve.%20As%20%24h%24%20grows%20the%20dots%20fall%20below%20it%3A%20each%20step%20follows%20the%20arrow%20at%20the%20*start*%20of%20the%20step%2C%20which%20is%20steeper%20than%20the%20curve%20further%20on%2C%20so%20every%20step%20cools%20a%20bit%20too%20much.%0A%20%20%20%202.%20The%20slope%20at%20%24(0%2C%2085)%24%20is%20%24-6.5%24%20%C2%B0C%2Fmin.%20Following%20it%20for%2010%20minutes%20gives%20%2485%20%2B%2010%20%5Ctimes%20(-6.5)%20%3D%2020%24%2C%20exactly%20room%20temperature%2C%20where%20the%20slope%20is%200%2C%20so%20it%20never%20moves%20again.%0A%20%20%20%203.%20With%20%24h%20%3D%2015%24%20the%20first%20step%20is%20%2485%20%2B%2015%20%5Ctimes%20(-6.5)%20%3D%20-12.5%24%20%C2%B0C.%20The%20arrow%20at%20the%20start%20is%20only%20correct%20*at%20the%20start*%3B%20following%20it%20blindly%20for%2015%20minutes%20overshoots%20the%20room%20temperature.%20The%20next%20step%20overshoots%20back%20the%20other%20way%2C%20by%20less%2C%20so%20it%20still%20settles%20down.%20With%20%24h%20%3D%2025%24%20each%20overshoot%20is%20bigger%20than%20the%20last%20and%20the%20steps%20blow%20up.%20Small%20steps%20are%20not%20just%20more%20accurate%2C%20they%20can%20be%20the%20difference%20between%20a%20sensible%20answer%20and%20nonsense.%20Chapter%206%20comes%20back%20to%20this.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it.**%20Change%20%60T0_cool%60%20to%20%605.0%60%20(a%20cold%20drink%20in%20a%20warm%20room).%20Does%20the%20picture%20still%20make%20sense%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%20%E2%80%94%20a%20room%20that%20warms%20up%0A%0A%20%20%20%20Now%20the%20heating%20comes%20on.%20The%20room%20starts%20at%2015%20%C2%B0C%20and%20warms%20by%200.25%20%C2%B0C%20every%20minute%2C%20so%20the%20room%20temperature%20is%20%2415%20%2B%200.25%5C%2Ct%24.%20The%20coffee%20follows%20Newton's%20law%20with%20this%20moving%20target%3A%20%5C%5B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DT%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%20%3D%20-k%5C%2C%5Cbigl(T%20-%20(15%20%2B%200.25%5C%2Ct)%5Cbigr).%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20**Predict%20first.**%20Before%20you%20write%20any%20code%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Will%20every%20row%20of%20arrows%20still%20look%20the%20same%3F%20Why%20or%20why%20not%3F%0A%20%20%20%202.%20Where%20will%20the%20arrows%20be%20flat%20now%3F%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Complete%20%60f_room%60%20below.%20%60room_temp(t)%60%20is%20already%20written%20for%20you.%20The%20plot%20then%20reuses%20your%20arrows%20and%20your%20%60follow_arrows%60%20function.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(k_cool)%3A%0A%20%20%20%20def%20room_temp(t)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%2015%20%2B%200.25%20*%20t%20%20%20%20%23%20the%20heating%20is%20on%3A%20%2B0.25%20%C2%B0C%20per%20minute%0A%0A%20%20%20%20def%20f_room(t%2C%20T)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-k_cool%20*%20(T%20-%20room_temp(t))%0A%0A%20%20%20%20return%20f_room%2C%20room_temp%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(T0_cool%2C%20draw_arrows%2C%20f_room%2C%20follow_arrows%2C%20np%2C%20plt%2C%20room_temp)%3A%0A%20%20%20%20_fig3%2C%20_ax3%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9%2C%205))%0A%20%20%20%20_ax3.set_xlim(-3.75%2C%2093.75)%0A%20%20%20%20_ax3.set_ylim(-5%2C%2095)%0A%20%20%20%20_ax3.set_xlabel(r%22%24t%24%20(min)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax3.set_ylabel(r%22%24T%24%20(%C2%B0C)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax3.set_title(%22Coffee%20in%20a%20warming%20room%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax3.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20_fig3.tight_layout()%0A%20%20%20%20_tg3%2C%20_Tg3%20%3D%20np.meshgrid(np.linspace(0%2C%2090%2C%2013)%2C%20np.linspace(0%2C%2090%2C%2010))%0A%20%20%20%20draw_arrows(_ax3%2C%20_tg3%2C%20_Tg3%2C%20f_room(_tg3%2C%20_Tg3)%2C%20alpha%3D0.45)%0A%0A%20%20%20%20_t_room%20%3D%20np.linspace(0%2C%2090%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax3.plot(_t_room%2C%20room_temp(_t_room)%2C%20%22%3A%22%2C%20color%3D%22tomato%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22room%20temperature%22)%0A%20%20%20%20_starts%20%3D%20%5BT0_cool%2C%2050.0%2C%205.0%5D%0A%20%20%20%20_colours%20%3D%20%5B%22%231a5276%22%2C%20%22%231e8449%22%2C%20%22%237d3c98%22%5D%0A%20%20%20%20for%20_T_start%2C%20_col%20in%20zip(_starts%2C%20_colours)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t_r%2C%20_T_r%20%3D%20follow_arrows(f_room%2C%200.0%2C%20_T_start%2C%2090.0%2C%200.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax3.plot(_t_r%2C%20_T_r%2C%20color%3D_col%2C%20linewidth%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22coffee%20starting%20at%20%7B_T_start%3Ag%7D%20%C2%B0C%22)%0A%20%20%20%20_ax3.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22best%22%2C%20framealpha%3D0.9)%0A%20%20%20%20_fig3%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Questions.**%0A%0A%20%20%20%203.%20Does%20the%20coffee%20ever%20catch%20up%20with%20the%20room%20temperature%3F%20Look%20at%20the%20curves%20after%20about%2045%20minutes%3A%20is%20the%20coffee%20above%20or%20below%20the%20room%2C%20and%20by%20roughly%20how%20much%3F%0A%20%20%20%204.%20Explain%20that%20gap.%20*Hint%3A*%20once%20the%20coffee%20has%20settled%20into%20following%20the%20room%2C%20it%20must%20warm%20at%20the%20same%20rate%20as%20the%20room%2C%200.25%20%C2%B0C%20per%20minute.%20What%20does%20%24f_%5Ctext%7Broom%7D%20%3D%200.25%24%20tell%20you%20about%20%24T%20-%20(15%20%2B%200.25t)%24%3F%0A%20%20%20%205.%20Change%20%60k_cool%60%20to%20%600.05%60%20(a%20better-insulated%20mug).%20Predict%20the%20new%20gap%2C%20then%20check.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%20(open%20after%20you%20have%20answered)%0A%0A%20%20%20%201.%20No.%20The%20rows%20differ%2C%20because%20%60f_room%60%20now%20uses%20%60t%60%3A%20the%20same%20temperature%20means%20something%20different%20early%20on%20(cold%20room)%20and%20later%20(warm%20room).%0A%20%20%20%202.%20On%20the%20room-temperature%20line%20%24T%20%3D%2015%20%2B%200.25t%24%2C%20where%20%24T%20-%20%5Ctext%7Broom%7D%20%3D%200%24.%20It%20is%20now%20a%20sloping%20line%2C%20not%20a%20horizontal%20one.%0A%20%20%20%203.%20It%20never%20catches%20up.%20All%20three%20curves%20end%20up%20running%20parallel%20to%20the%20room%20line%2C%20about%202.5%20%C2%B0C%20*below*%20it.%0A%20%20%20%204.%20Setting%20%24-k%5C%2C(T%20-%20%5Ctext%7Broom%7D)%20%3D%200.25%24%20gives%20%24T%20-%20%5Ctext%7Broom%7D%20%3D%20-0.25%2Fk%20%3D%20-2.5%24%20%C2%B0C%20for%20%24k%20%3D%200.1%24.%20The%20coffee%20has%20to%20be%20cooler%20than%20the%20room%20for%20heat%20to%20flow%20*into*%20it%20at%20the%20rate%20the%20room%20is%20warming.%0A%20%20%20%205.%20%24-0.25%2F0.05%20%3D%20-5%24%20%C2%B0C%3A%20a%20better-insulated%20mug%20lags%20further%20behind.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20lecture's%20%24y'%20%3D%20t%20-%20y%24%20in%20disguise%3A%20the%20curves%20funnel%20onto%20a%20line%20that%20runs%20parallel%20to%20the%20line%20of%20flat%20arrows%2C%20a%20little%20way%20behind%20it.%20You%20could%20also%20solve%20it%20with%20an%20integrating%20factor%2C%20but%20the%20picture%20gets%20you%20the%20answer%20without%20any%20integrals.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A