Week 3 Lab — The Dimension Matrix

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Week%203%20Lab%20%E2%80%94%20The%20Dimension%20Matrix%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%203%20lab%20%E2%80%94%20the%20dimension%20matrix%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%0A%20%20%20%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20Work%20through%20the%20exercises%20below.%20%20Press%20**Ctrl%2BEnter**%20(or%20**Shift%2BEnter**)%20to%20run%20a%20cell.%0A%0A%20%20%20%20The%20main%20task%20is%20to%20build%20a%20dimension%20matrix%20as%20a%20NumPy%20array%20and%20use%20%60null_space%60%20to%20find%0A%20%20%20%20the%20%CE%A0-groups%20automatically.%20%20Anything%20that%20depends%20on%20your%20matrix%20will%20update%20as%20you%20fill%20it%20in.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.linalg%20import%20null_space%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20null_space%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20tool%3A%20%60null_space%60%0A%0A%20%20%20%20%60null_space(D)%60%20returns%20the%20vectors%20%24%5Cmathbf%7Bk%7D%24%20such%20that%20%24D%5Cmathbf%7Bk%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7B0%7D%24.%0A%20%20%20%20Each%20column%20of%20the%20result%20is%20one%20set%20of%20exponents%20for%20a%20%CE%A0-group.%0A%0A%20%20%20%20After%20calling%20it%2C%20normalise%20the%20output%20so%20that%20the%20variable%20you%20are%20solving%20for%20has%20exponent%201%3A%0A%0A%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20v%20%3D%20null_space(D)%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20v%20%3D%20v%20%2F%20v%5B0%5D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20set%20the%20first%20variable's%20exponent%20to%201%0A%20%20%20%20np.round(v%2C%203)%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20display%20as%20rounded%20floats%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20The%20entries%20of%20%60v%60%20are%20then%20%24%5Bk_1%2C%20k_2%2C%20%5Cldots%5D%24%20such%20that%0A%20%20%20%20%24%5CPi%20%3D%20x_1%5E%7Bk_1%7D%20x_2%5E%7Bk_2%7D%20%5Ccdots%20%3D%20%5Ctext%7Bconst%7D%24%2C%0A%20%20%20%20and%20the%20scaling%20law%20for%20%24x_1%24%20follows%20by%20rearranging.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%20%E2%80%94%20terminal%20velocity%20of%20a%20raindrop%0A%0A%20%20%20%20A%20raindrop%20of%20weight%20%24W%20%3D%20mg%24%20falls%20through%20air%20until%20gravity%20is%20balanced%20by%20drag.%0A%20%20%20%20At%20terminal%20velocity%20%24v%24%20the%20relevant%20parameters%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Symbol%20%7C%20M%20%7C%20L%20%7C%20T%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C--------%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Terminal%20velocity%20%7C%20%24v%24%20%7C%200%20%7C%201%20%7C%20%E2%88%921%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Weight%20%7C%20%24W%24%20%7C%201%20%7C%201%20%7C%20%E2%88%922%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Air%20density%20%7C%20%24%5Crho%24%20%7C%201%20%7C%20%E2%88%923%20%7C%200%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Cross-section%20%7C%20%24A%24%20%7C%200%20%7C%202%20%7C%200%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%204%24%20parameters%2C%20%24k%20%3D%203%24%20base%20dimensions%20(M%2C%20L%2C%20T)%20%24%5CRightarrow%24%20%24m%20%3D%201%24%20%CE%A0-group.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Fill%20in%20the%20dimension%20matrix%20below.%0A%20%20%20%20Each%20column%20is%20one%20parameter's%20exponents%20in%20the%20order%20%5BM%2C%20L%2C%20T%5D.%0A%20%20%20%20Run%20the%20cell%20%E2%80%94%20the%20null%20space%20below%20will%20update%20automatically.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Dimension%20matrix%3A%20rows%20%3D%20%5BM%2C%20L%2C%20T%5D%2C%20%20columns%20%3D%20%5Bv%2C%20W%2C%20rho%2C%20A%5D%0A%20%20%20%20D_term%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%200%2C%200%2C%200%5D%2C%20%20%20%23%20M%20%20%E2%86%90%20fill%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%200%2C%200%2C%200%5D%2C%20%20%20%23%20L%20%20%E2%86%90%20fill%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%200%2C%200%2C%200%5D%2C%20%20%20%23%20T%20%20%E2%86%90%20fill%20in%0A%20%20%20%20%5D%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20D_term%0A%20%20%20%20return%20(D_term%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%20%E2%80%94%20compute%20the%20%CE%A0-group%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Run%20the%20cell%20below%20to%20compute%20the%20null%20space%20of%20your%20dimension%20matrix.%0A%20%20%20%20Once%20%60D_term%60%20is%20filled%20in%20correctly%2C%20%60np.round(v_term%2C%203)%60%20should%20show%0A%20%20%20%20%60%5B1.%2C%20-0.5%2C%200.5%2C%200.5%5D%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(D_term%2C%20np%2C%20null_space)%3A%0A%20%20%20%20ns_term%20%3D%20null_space(D_term)%0A%20%20%20%20v_term%20%20%3D%20ns_term%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20v_term%20%20%3D%20v_term%20%2F%20v_term%5B0%5D%20%20%20%20%23%20normalise%3A%20v%20exponent%20%3D%201%0A%20%20%20%20np.round(v_term%2C%203)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20When%20%60D_term%60%20is%20correct%20the%20exponents%20%24%5Bk_v%2C%5C%2C%20k_W%2C%5C%2C%20k_%5Crho%2C%5C%2C%20k_A%5D%24%0A%20%20%20%20are%20%24%5B1%2C%5C%2C-1%2F2%2C%5C%2C1%2F2%2C%5C%2C1%2F2%5D%24%2C%20giving%20the%20%CE%A0-group%3A%0A%20%20%20%20%5C%5B%5CPi%20%3D%20v%20%5Ccdot%20W%5E%7B-1%2F2%7D%20%5Ccdot%20%5Crho%5E%7B1%2F2%7D%20%5Ccdot%20A%5E%7B1%2F2%7D%20%3D%20%5Ctext%7Bconst%7D.%5C%5D%0A%20%20%20%20Rearranging%20for%20%24v%24%3A%0A%20%20%20%20%5C%5Bv%20%3D%20C%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BW%7D%7B%5Crho%20A%7D%7D.%5C%5D%0A%20%20%20%20The%20constant%20%24C%24%20must%20be%20determined%20experimentally%20or%20from%20the%20full%20fluid%20equations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Observation%20%E2%80%94%20physical%20interpretation%0A%0A%20%20%20%20The%20scaling%20law%20%24v%20%3D%20C%5Csqrt%7BW%2F%5Crho%20A%7D%24%20tells%20us%20how%20terminal%20velocity%20depends%20on%20each%20parameter.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Double-click%20this%20cell%20and%20complete%20the%20sentences%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20A%20heavier%20drop%20(larger%20%24W%24)%3A%20*write%20one%20sentence*%0A%20%20%20%20-%20Denser%20air%20(larger%20%24%5Crho%24)%3A%20*write%20one%20sentence*%0A%20%20%20%20-%20Larger%20cross-section%20(larger%20%24A%24)%3A%20*write%20one%20sentence*%0A%20%20%20%20-%20Why%20does%20the%20bob%20mass%20cancel%20from%20the%20pendulum%20but%20mass%20appears%20here%3F%20%20*write%20one%20sentence*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20AI%20extension%20%E2%80%94%20physics-informed%20feature%20engineering%0A%0A%20%20%20%20A%20neural%20network%20trained%20to%20predict%20drag%20force%20%24F_D%24%20directly%20from%20raw%20inputs%0A%20%20%20%20%24(L%2C%20V%2C%20%5Crho%2C%20%5Cmu)%24%20must%20implicitly%20discover%20the%20relevant%20dimensionless%20groups%20from%20data.%0A%20%20%20%20Giving%20it%20the%20%CE%A0-groups%20as%20inputs%20instead%20%E2%80%94%20the%20drag%20coefficient%20%24C_D%24%20and%20the%20Reynolds%0A%20%20%20%20number%20%24Re%24%20%E2%80%94%20is%20a%20simple%20form%20of%20**physics-informed%20machine%20learning**%3A%20you%20encode%20the%0A%20%20%20%20structure%20of%20the%20problem%20before%20training.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20sphere%20of%20diameter%20%24L%24%20moving%20at%20speed%20%24V%24%20through%20a%20fluid%20of%20density%20%24%5Crho%24%20and%0A%20%20%20%20viscosity%20%24%5Cmu%24%2C%20the%20two%20%CE%A0-groups%20from%20the%20dimension%20matrix%20are%3A%0A%20%20%20%20%5C%5BC_D%20%3D%20%5Cfrac%7BF_D%7D%7B%5Crho%20V%5E2%20L%5E2%7D%2C%20%5Cqquad%20Re%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%20V%20L%7D%7B%5Cmu%7D.%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Below%20is%20a%20synthetic%20dataset%20of%20drag%20measurements%20on%20spheres%20across%20many%20different%0A%20%20%20%20%24(L%2C%20V%2C%20%5Crho%2C%20%5Cmu)%24%20combinations%2C%20spanning%20both%20the%20Stokes%20regime%20(slow%2C%20viscous%20flow)%0A%20%20%20%20and%20the%20Newton%20regime%20(fast%2C%20inertial%20flow).%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%0A%20%20%20%201.%20Replace%20the%20two%20%60np.zeros_like%60%20placeholders%20with%20the%20correct%20formulas%20for%20%24C_D%24%20and%20%24Re%24.%0A%20%20%20%202.%20Run%20the%20cell.%20%20The%20comparison%20plot%20below%20will%20update.%0A%20%20%20%203.%20Answer%20the%20discussion%20questions%20at%20the%20end.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Synthetic%20drag%20data%3A%20columns%20%3D%20%5BF_D%20(N)%2C%20L%20(m)%2C%20V%20(m%2Fs)%2C%20rho%20(kg%2Fm%C2%B3)%2C%20mu%20(Pa%C2%B7s)%5D%0A%20%20%20%20%23%20Stokes%20regime%20(Re%20%3C%201)%3A%20water%2C%20small%20spheres%2C%20C_D%20%3D%2024%2FRe%0A%20%20%20%20_rw%2C%20_mw%20%3D%201000.0%2C%201e-3%0A%20%20%20%20_Re_s%20%3D%20np.array(%5B0.01%2C%200.02%2C%200.05%2C%200.10%2C%200.20%2C%200.50%2C%200.70%2C%201.00%5D)%0A%20%20%20%20_L_s%20%20%3D%20np.array(%5B1e-3%2C%208e-4%2C%205e-4%2C%203e-4%2C%202e-4%2C%201e-4%2C%208e-5%2C%205e-5%5D)%0A%20%20%20%20_V_s%20%20%3D%20_Re_s%20*%20_mw%20%2F%20(_rw%20*%20_L_s)%0A%20%20%20%20_FD_s%20%3D%20(24.0%20%2F%20_Re_s)%20*%20_rw%20*%20_V_s**2%20*%20_L_s**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Newton%20regime%20(Re%20%3E%3E%201)%3A%20air%2C%20larger%20spheres%2C%20C_D%20%E2%89%88%200.44%0A%20%20%20%20_ra%2C%20_ma%20%3D%201.2%2C%201.8e-5%0A%20%20%20%20_Re_n%20%3D%20np.array(%5B2e3%2C%205e3%2C%201e4%2C%202e4%2C%205e4%2C%201e5%2C%202e5%2C%205e5%5D)%0A%20%20%20%20_L_n%20%20%3D%20np.array(%5B0.01%2C%200.02%2C%200.03%2C%200.05%2C%200.08%2C%200.10%2C%200.15%2C%200.20%5D)%0A%20%20%20%20_V_n%20%20%3D%20_Re_n%20*%20_ma%20%2F%20(_ra%20*%20_L_n)%0A%20%20%20%20_FD_n%20%3D%200.44%20*%20_ra%20*%20_V_n**2%20*%20_L_n**2%0A%0A%20%20%20%20drag_data%20%3D%20np.column_stack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.concatenate(%5B_FD_s%2C%20_FD_n%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.concatenate(%5B_L_s%2C%20%20_L_n%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.concatenate(%5B_V_s%2C%20%20_V_n%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.concatenate(%5Bnp.full(8%2C%20_rw)%2C%20np.full(8%2C%20_ra)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.concatenate(%5Bnp.full(8%2C%20_mw)%2C%20np.full(8%2C%20_ma)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(drag_data%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(drag_data%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20F_D_data%2C%20L_data%2C%20V_data%2C%20rho_data%2C%20mu_data%20%3D%20drag_data.T%0A%0A%20%20%20%20C_D_data%20%3D%20np.zeros_like(F_D_data)%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%20with%20F_D_data%20%2F%20(rho_data%20*%20V_data**2%20*%20L_data**2)%0A%20%20%20%20Re_data%20%20%3D%20np.zeros_like(F_D_data)%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%20with%20rho_data%20*%20V_data%20*%20L_data%20%2F%20mu_data%0A%20%20%20%20C_D_data%2C%20Re_data%0A%20%20%20%20return%20C_D_data%2C%20F_D_data%2C%20Re_data%2C%20V_data%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(C_D_data%2C%20F_D_data%2C%20Re_data%2C%20V_data%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_ai%2C%20(_ax_raw%2C%20_ax_nd)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20_ax_raw.scatter(V_data%2C%20F_D_data%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20s%3D60%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax_raw.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax_raw.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax_raw.set_xlabel(%22Velocity%20%24V%24%20(m%2Fs)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_raw.set_ylabel(%22Drag%20force%20%24F_D%24%20(N)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_raw.set_title(%22Raw%3A%20%24F_D%24%20vs%20%24V%24%20%20(mixed%20fluids%20%E2%80%94%20no%20universal%20curve)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_raw.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%0A%20%20%20%20_re_stokes%20%3D%20np.logspace(-2%2C%200.1%2C%2080)%0A%20%20%20%20_ax_nd.scatter(Re_data%2C%20C_D_data%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20s%3D60%2C%20alpha%3D0.8%2C%20zorder%3D5%2C%20label%3D%22data%22)%0A%20%20%20%20_ax_nd.loglog(_re_stokes%2C%2024%20%2F%20_re_stokes%2C%20%22k--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22Stokes%3A%20%24C_D%20%3D%2024%2FRe%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_nd.axhline(0.44%2C%20color%3D%22tomato%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22Newton%3A%20%24C_D%20%5Capprox%200.44%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_nd.set_xlabel(%22Reynolds%20number%20%24Re%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_nd.set_ylabel(%22Drag%20coefficient%20%24C_D%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_nd.set_title(r%22Nondimensional%3A%20universal%20%24C_D(Re)%24%20curve%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_nd.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20_ax_nd.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%0A%20%20%20%20_fig_ai.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_ai%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Discussion**%20(double-click%20to%20edit)%3A%0A%0A%20%20%20%20Once%20your%20formulas%20are%20correct%2C%20the%20right%20panel%20shows%20a%20clean%20universal%20%24C_D(Re)%24%20curve.%0A%20%20%20%20The%20left%20panel%20shows%20scattered%20points%20with%20no%20obvious%20structure%2C%20even%20on%20a%20log%E2%80%93log%20scale%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20because%20different%20rows%20come%20from%20different%20fluids%20and%20different%20sphere%20sizes.%0A%0A%20%20%20%20-%20Which%20representation%20would%20you%20rather%20give%20to%20a%20neural%20network%20as%20input%20features%3F%0A%20%20%20%20-%20Why%20does%20the%20%24C_D%24%E2%80%93%24Re%24%20representation%20help%20the%20model%20generalise%3F%0A%20%20%20%20-%20What%20does%20this%20say%20about%20the%20value%20of%20dimensional%20analysis%20before%20applying%20machine%0A%20%20%20%20%20%20learning%20to%20physical%20data%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A