Week 2 Lab (Answers) — Nondimensionalisation

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Week%202%20Lab%20(Answers)%20%E2%80%94%20Nondimensionalisation%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%202%20lab%20%E2%80%94%20Nondimensionalisation%20%E2%80%94%20Answers%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**This%20is%20the%20answers%20version.**%20Every%20blank%20below%20contains%20the%20completed%20solution%2C%20for%20instructors%20and%20for%20checking%20your%20own%20work.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20Work%20through%20the%20exercises%20below.%20Press%20**Ctrl%2BEnter**%20(or%20**Shift%2BEnter**)%20to%20run%20a%20cell%20and%20see%20its%20output.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Parameters%0A%0A%20%20%20%20A%20cup%20of%20coffee%20cools%20in%20a%20room.%20%20You%20can%20change%20these%20numbers%20at%20any%20point%20and%20everything%20below%20will%20update%20automatically.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20k%20%20%20%20%3D%200.05%20%20%20%23%20cooling%20rate%20(min%E2%81%BB%C2%B9)%0A%20%20%20%20T0%20%20%20%3D%2090.0%20%20%20%23%20initial%20temperature%20(%C2%B0C)%0A%20%20%20%20Tinf%20%3D%2020.0%20%20%20%23%20ambient%20temperature%20(%C2%B0C)%0A%20%20%20%20return%20T0%2C%20Tinf%2C%20k%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%20%E2%80%94%20one%20time%2C%20three%20quantities%0A%0A%20%20%20%20Newton's%20law%20of%20cooling%20has%20analytic%20solution%20%5C%5BT(t)%20%3D%20T_%5Cinfty%20%2B%20(T_0%20-%20T_%5Cinfty)%5C%2Ce%5E%7B-kt%7D.%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20The%20nondimensional%20variables%20are%20%24s%20%3D%20kt%24%20and%20%24%5Ctheta%20%3D%20(T%20-%20T_%5Cinfty)%2F(T_0%20-%20T_%5Cinfty)%24.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20In%20the%20cell%20below%2C%20replace%20the%20three%20%600.0%60%20placeholders%20with%20the%20correct%20formulas.%20Use%20%60k%60%2C%20%60T0%60%2C%20%60Tinf%60%2C%20%60t%60%2C%20and%20%60np.exp(...)%60.%20Run%20the%20cell.%20%20You%20should%20get%20roughly%20%24T%20%5Capprox%2062%24%C2%B0C%2C%20%24s%20%3D%200.5%24%2C%20%24%5Ctheta%20%5Capprox%200.61%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(T0%2C%20Tinf%2C%20k%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20t%20%20%20%20%20%3D%2010.0%0A%20%20%20%20T%20%20%20%20%20%3D%20Tinf%20%2B%20(T0%20-%20Tinf)%20*%20np.exp(-k%20*%20t)%0A%20%20%20%20s%20%20%20%20%20%3D%20k%20*%20t%0A%20%20%20%20theta%20%3D%20(T%20-%20Tinf)%20%2F%20(T0%20-%20Tinf)%0A%20%20%20%20T%2C%20s%2C%20theta%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%20%E2%80%94%20over%20a%20range%20of%20times%0A%0A%20%20%20%20Now%20compute%20%24T%24%2C%20%24s%24%2C%20and%20%24%5Ctheta%24%20for%20every%20time%20in%20an%20array.%20The%20array%20%60t_arr%60%20is%20already%20defined.%20%20Replace%20the%20three%20%60np.zeros_like(t_arr)%60%20placeholders%20with%20the%20same%20formulas%20as%20Exercise%201%20%E2%80%94%20just%20using%20%60t_arr%60%20instead%20of%20%60t%60.%0A%0A%20%20%20%20When%20you%20run%20the%20cell%2C%20the%20plot%20below%20will%20update.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(T0%2C%20Tinf%2C%20k%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20t_arr%20%20%20%20%20%3D%20np.linspace(0%2C%2030%2C%20300)%0A%20%20%20%20T_arr%20%20%20%20%20%3D%20Tinf%20%2B%20(T0%20-%20Tinf)%20*%20np.exp(-k%20*%20t_arr)%0A%20%20%20%20s_arr%20%20%20%20%20%3D%20k%20*%20t_arr%0A%20%20%20%20theta_arr%20%3D%20(T_arr%20-%20Tinf)%20%2F%20(T0%20-%20Tinf)%0A%20%20%20%20return%20T_arr%2C%20s_arr%2C%20t_arr%2C%20theta_arr%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(T_arr%2C%20Tinf%2C%20k%2C%20np%2C%20plt%2C%20s_arr%2C%20t_arr%2C%20theta_arr)%3A%0A%20%20%20%20_s_ref%20%3D%20np.linspace(0%2C%20max(s_arr.max()%2C%200.1)%2C%20300)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_dim%2C%20_ax_nd)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(11%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20_ax_dim.plot(t_arr%2C%20T_arr%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_dim.axhline(Tinf%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24T_%5C%5Cinfty%20%3D%20%7BTinf%3A.0f%7D%24%C2%B0C%22)%0A%20%20%20%20_ax_dim.set_xlabel(%22Time%20%24t%24%20(min)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_dim.set_ylabel(%22Temperature%20%24T%24%20(%C2%B0C)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_dim.set_title(f%22Dimensional%20%20%20(%24k%20%3D%20%7Bk%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_dim.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20_ax_dim.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_ax_nd.plot(s_arr%2C%20theta_arr%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D%22your%20solution%22)%0A%20%20%20%20_ax_nd.plot(_s_ref%2C%20np.exp(-_s_ref)%2C%20%22k--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22%24e%5E%7B-s%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_nd.set_xlabel(%22Dimensionless%20time%20%24s%20%3D%20kt%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_nd.set_ylabel(r%22%24%5Ctheta(s)%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_nd.set_title(%22Nondimensional%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_nd.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20_ax_nd.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%20%E2%80%94%20numerical%20verification%0A%0A%20%20%20%20If%20your%20formulas%20in%20Exercise%202%20are%20correct%2C%20%60theta_arr%60%20should%20match%20%24e%5E%7B-s%7D%24%20evaluated%20at%20every%20point%20in%20%60s_arr%60.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Run%20the%20cell%20below.%20%20The%20number%20it%20prints%20is%20the%20largest%20pointwise%20difference%20between%20your%20solution%20and%20the%20exact%20answer.%20%20How%20small%20is%20it%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20s_arr%2C%20theta_arr)%3A%0A%20%20%20%20np.max(np.abs(theta_arr%20-%20np.exp(-s_arr)))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Observation%20%E2%80%94%20solution%20collapse%0A%0A%20%20%20%20Once%20your%20formulas%20are%20correct%2C%20the%20right%20panel%20should%20show%20your%20curve%20sitting%20exactly%20on%20top%20of%20%24e%5E%7B-s%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**Now%20go%20back%20to%20the%20parameters%20cell%20at%20the%20top%20and%20change%20%24k%24.**%20Try%20%24k%20%3D%200.1%24%2C%20then%20%24k%20%3D%202.0%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20What%20changes%20in%20the%20left%20panel%3F%0A%20%20%20%20-%20What%20changes%20in%20the%20right%20panel%3F%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20**solution%20collapse**%3A%20every%20Newton's%20cooling%20experiment%2C%20regardless%20of%20%24k%24%2C%20%24T_0%24%2C%20or%20%24T_%5Cinfty%24%2C%20maps%20to%20the%20same%20nondimensional%20curve%20%24%5Ctheta(s)%20%3D%20e%5E%7B-s%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Extension%20%E2%80%94%20a%20new%20scenario%0A%0A%20%20%20%20A%20pan%20of%20water%20starts%20at%20%24T_0%20%3D%2095%24%C2%B0C%20in%20a%20cold%20kitchen%20at%20%24T_%5Cinfty%20%3D%205%24%C2%B0C%20with%20cooling%20rate%20%24k%20%3D%200.08%24%20s%E2%81%BB%C2%B9.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%0A%20%20%20%201.%20Update%20the%20parameters%20cell%20at%20the%20top.%0A%20%20%20%202.%20Update%20%24t%24%20in%20Exercise%201%20to%20find%20the%20temperature%20after%2020%20s.%0A%20%20%20%203.%20Does%20%24%5Ctheta%24%20change%20compared%20to%20the%20coffee%3F%20Should%20it%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20AI%20extension%20%E2%80%94%20feature%20normalisation%0A%0A%20%20%20%20In%20machine%20learning%2C%20before%20training%20a%20model%20you%20almost%20always%20*normalise*%20the%20input%20data.%20%20The%20most%20common%20recipe%20is%20**standardisation**%3A%20subtract%20the%20mean%2C%20divide%20by%20the%20standard%20deviation%2C%20so%20every%20variable%20is%20centred%20at%20zero%20with%20spread%20one.%20Libraries%20like%20scikit-learn%20do%20this%20automatically%20with%20%60StandardScaler%60.%0A%0A%20%20%20%20Written%20in%20NumPy%20it%20is%20just%20two%20lines%3A%0A%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20theta_stat%20%3D%20(T_arr%20-%20T_arr.mean())%20%2F%20T_arr.std()%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20This%20looks%20a%20lot%20like%20what%20you%20did%20in%20Exercise%202%20%E2%80%94%20but%20the%20scales%20are%20*data-driven*%20(mean%20and%20std%20of%20your%20particular%20dataset)%20rather%20than%20*physics-motivated*%20(%24T_0%24%20and%20%24T_%5Cinfty%24).%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%0A%20%20%20%201.%20Run%20the%20cell%20below.%20%20The%20plot%20shows%20your%20physical%20%24%5Ctheta%24%20alongside%20the%20statistically%20standardised%20version.%0A%20%20%20%202.%20What%20does%20%24%5Ctheta_%5Ctext%7Bstat%7D%20%3D%200%24%20mean%20physically%3F%20What%20does%20%24%5Ctheta%20%3D%200%24%20mean%20physically%3F%0A%20%20%20%203.%20Which%20normalisation%20is%20more%20interpretable%2C%20and%20why%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(T_arr)%3A%0A%20%20%20%20theta_stat%20%3D%20(T_arr%20-%20T_arr.mean())%20%2F%20T_arr.std()%0A%20%20%20%20theta_stat%0A%20%20%20%20return%20(theta_stat%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20s_arr%2C%20theta_arr%2C%20theta_stat)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax.plot(s_arr%2C%20theta_arr%2C%20%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Physical%3A%20%24%5Ctheta%20%3D%20(T%20-%20T_%5Cinfty)%2F(T_0%20-%20T_%5Cinfty)%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.plot(s_arr%2C%20theta_stat%2C%20color%3D%22tomato%22%2C%20%20linewidth%3D2%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Statistical%3A%20%24(T%20-%20%5Cbar%20T)%2F%5Csigma_T%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.plot(np.linspace(0%2C%20s_arr.max()%2C%20300)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.exp(-np.linspace(0%2C%20s_arr.max()%2C%20300))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22k%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22%24e%5E%7B-s%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(0%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Dimensionless%20time%20%24s%20%3D%20kt%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Normalised%20temperature%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Physical%20vs%20statistical%20normalisation%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A