Week 2 Lab — Nondimensionalisation

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Week%202%20Lab%20%E2%80%94%20Nondimensionalisation%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Week%202%20computer%20lab%3A%20nondimensionalisation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20lab%20reinforces%20the%20nondimensionalisation%20procedure%20from%20lectures.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20You%20will%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Reproduce%20the%20Newton's%20cooling%20collapse%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Nondimensionalise%20the%20logistic%20equation%20yourself%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Explore%20what%20happens%20when%20you%20choose%20a%20*bad*%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%2C%20solve_ivp%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%3A%20reproduce%20the%20cooling%20collapse%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20dimensional%20solution%20to%20Newton's%20cooling%20is%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24T(t)%20%3D%20T_%5Cinfty%20%2B%20(T_0%20-%20T_%5Cinfty)%5C%2Ce%5E%7B-kt%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20nondimensional%20variables%20are%20%24%5Ctheta%20%3D%20(T%20-%20T_%5Cinfty)%2F(T_0%20-%20T_%5Cinfty)%24%20and%20%24s%20%3D%20kt%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20complete%20the%20code%20below%20to%20produce%20the%20side-by-side%20collapse%20plot%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24k%20%5Cin%20%5C%7B0.2%2C%201.0%2C%203.0%5C%7D%24%2C%20with%20%24T_0%20%3D%2090%24%C2%B0C%20and%20%24T_%5Cinfty%20%3D%2020%24%C2%B0C.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20T0_lab%20%3D%2090.0%0A%20%20%20%20Tinf_lab%20%3D%2020.0%0A%20%20%20%20k_vals_lab%20%3D%20%5B0.2%2C%201.0%2C%203.0%5D%0A%20%20%20%20colors_lab%20%3D%20%5B%22%231a5276%22%2C%20%22%231e8449%22%2C%20%22%23922b21%22%5D%0A%0A%20%20%20%20t_lab%20%3D%20np.linspace(0%2C%2020%2C%20400)%0A%0A%20%20%20%20fig_ex1%2C%20axes_ex1%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20for%20k_lab%2C%20col_lab%20in%20zip(k_vals_lab%2C%20colors_lab)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Dimensional%20solution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T_lab%20%3D%20Tinf_lab%20%2B%20(T0_lab%20-%20Tinf_lab)%20*%20np.exp(-k_lab%20*%20t_lab)%20%20%20%23%20%E2%86%90%20correct%20formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes_ex1%5B0%5D.plot(t_lab%2C%20T_lab%2C%20color%3Dcol_lab%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Df%22k%20%3D%20%7Bk_lab%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Nondimensional%20variables%20%E2%80%94%20fill%20in%20the%20formulas%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s_lab%20%3D%20k_lab%20*%20t_lab%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E2%86%90%20dimensionless%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_lab%20%3D%20(T_lab%20-%20Tinf_lab)%20%2F%20(T0_lab%20-%20Tinf_lab)%20%20%20%23%20%E2%86%90%20dimensionless%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask_lab%20%3D%20s_lab%20%3C%3D%206%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.plot(s_lab%5Bmask_lab%5D%2C%20theta_lab%5Bmask_lab%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcol_lab%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Df%22k%20%3D%20%7Bk_lab%7D%22%2C%20alpha%3D0.8)%0A%0A%20%20%20%20s_exact%20%3D%20np.linspace(0%2C%206%2C%20300)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.plot(s_exact%2C%20np.exp(-s_exact)%2C%20%22k--%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Dr%22%24e%5E%7B-s%7D%24%22)%0A%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B0%5D.set_xlabel(%22t%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B0%5D.set_ylabel(%22T%20(%C2%B0C)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B0%5D.set_title(%22Dimensional%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B0%5D.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.set_xlabel(%22s%20%3D%20kt%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.set_ylabel(r%22%24%5Ctheta%20%3D%20(T-T_%5Cinfty)%2F(T_0-T_%5Cinfty)%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.set_title(%22Nondimensional%20(collapse)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20axes_ex1%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20fig_ex1.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig_ex1%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%3A%20nondimensionalise%20logistic%20growth%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20logistic%20ODE%20is%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7BdN%7D%7Bdt%7D%20%3D%20rN%5C!%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7BN%7D%7BK%7D%5Cright)%2C%20%5Cqquad%20N(0)%20%3D%20N_0%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20lectures%20we%20showed%20this%20becomes%20%24%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bds%7D%20%3D%20u(1-u)%24%2C%20%24u(0)%20%3D%20N_0%2FK%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20%24u%20%3D%20N%2FK%24%20and%20%24s%20%3D%20rt%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20solve%20both%20the%20dimensional%20and%20nondimensional%20forms%20numerically%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20%24r%20%5Cin%20%5C%7B0.3%2C%201.0%2C%202.0%5C%7D%24%2C%20%24K%20%3D%20500%24%2C%20%24N_0%20%3D%2050%24%2C%20and%20produce%20a%20collapse%20plot.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*The%20nondimensional%20initial%20condition%20is%20%24u_0%20%3D%20N_0%2FK%24.*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20solve_ivp)%3A%0A%20%20%20%20K_ex2%20%3D%20500.0%0A%20%20%20%20N0_ex2%20%3D%2050.0%0A%20%20%20%20u0_ex2%20%3D%20N0_ex2%20%2F%20K_ex2%20%20%20%23%20nondimensional%20initial%20condition%0A%0A%20%20%20%20r_vals_ex2%20%3D%20%5B0.3%2C%201.0%2C%202.0%5D%0A%20%20%20%20colors_ex2%20%3D%20%5B%22%231a5276%22%2C%20%22%231e8449%22%2C%20%22%23922b21%22%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20logistic_dim(t_v%2C%20N_v%2C%20r_v%2C%20K_v)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20r_v%20*%20N_v%20*%20(1%20-%20N_v%20%2F%20K_v)%0A%0A%20%20%20%20def%20logistic_nondim(s_v%2C%20u_v)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20u_v%20*%20(1%20-%20u_v)%0A%0A%20%20%20%20fig_ex2%2C%20axes_ex2%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20for%20r_ex2%2C%20col_ex2%20in%20zip(r_vals_ex2%2C%20colors_ex2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Dimensional%20solve%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sol_dim%20%3D%20solve_ivp(logistic_dim%2C%20%5B0%2C%2030%5D%2C%20%5BN0_ex2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20args%3D(r_ex2%2C%20K_ex2)%2C%20t_eval%3Dnp.linspace(0%2C%2030%2C%20300))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.plot(sol_dim.t%2C%20sol_dim.y%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcol_ex2%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Df%22r%20%3D%20%7Br_ex2%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Nondimensional%20solve%20(note%3A%20s%20%3D%20r*t%2C%20so%20t_span%20for%20s%20goes%20to%20r*30)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s_max%20%3D%20r_ex2%20*%2030%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sol_nd%20%3D%20solve_ivp(logistic_nondim%2C%20%5B0%2C%20s_max%5D%2C%20%5Bu0_ex2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3Dnp.linspace(0%2C%20s_max%2C%20300))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask_nd%20%3D%20sol_nd.t%20%3C%3D%2015%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.plot(sol_nd.t%5Bmask_nd%5D%2C%20sol_nd.y%5B0%5D%5Bmask_nd%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcol_ex2%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20alpha%3D0.8%2C%20label%3Df%22r%20%3D%20%7Br_ex2%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.axhline(K_ex2%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Df%22K%20%3D%20%7BK_ex2%7D%22)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.set_xlabel(%22t%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.set_ylabel(%22N(t)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.set_title(%22Logistic%3A%20dimensional%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.axhline(1.0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22u%20%3D%201%20(carrying%20capacity)%22)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.set_xlabel(%22s%20%3D%20rt%20(dimensionless)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.set_ylabel(%22u%20%3D%20N%2FK%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.set_title(%22Logistic%3A%20nondimensional%20(collapse)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20axes_ex2%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20fig_ex2.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig_ex2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%20(extension)%3A%20a%20bad%20choice%20of%20scale%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Suppose%20for%20Newton's%20cooling%20we%20had%20(incorrectly)%20chosen%20the%20time%20scale%20%24%5Ctau%20%3D%201%24%20second%0A%20%20%20%20%20%20%20%20instead%20of%20%24%5Ctau%20%3D%201%2Fk%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20repeat%20Exercise%201%20but%20define%20%24s_%7B%5Ctext%7Bbad%7D%7D%20%3D%20t%24%20(instead%20of%20%24kt%24).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Do%20the%20curves%20collapse%3F%20What%20goes%20wrong%3F%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20illustrates%20why%20choosing%20the%20*right*%20scale%20matters.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20T0_bad%20%3D%2090.0%0A%20%20%20%20Tinf_bad%20%3D%2020.0%0A%20%20%20%20k_vals_bad%20%3D%20%5B0.2%2C%201.0%2C%203.0%5D%0A%20%20%20%20colors_bad%20%3D%20%5B%22%231a5276%22%2C%20%22%231e8449%22%2C%20%22%23922b21%22%5D%0A%20%20%20%20t_bad%20%3D%20np.linspace(0%2C%2020%2C%20400)%0A%0A%20%20%20%20fig_bad%2C%20ax_bad%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20for%20k_bad%2C%20col_bad%20in%20zip(k_vals_bad%2C%20colors_bad)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T_bad%20%3D%20Tinf_bad%20%2B%20(T0_bad%20-%20Tinf_bad)%20*%20np.exp(-k_bad%20*%20t_bad)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_bad%20%3D%20(T_bad%20-%20Tinf_bad)%20%2F%20(T0_bad%20-%20Tinf_bad)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s_bad%20%3D%20t_bad%20%20%20%23%20%E2%86%90%20bad%20scale%3A%20just%20t%2C%20not%20k*t%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask_bad%20%3D%20s_bad%20%3C%3D%2010%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_bad.plot(s_bad%5Bmask_bad%5D%2C%20theta_bad%5Bmask_bad%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcol_bad%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Df%22k%20%3D%20%7Bk_bad%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20ax_bad.set_xlabel(%22s_bad%20%3D%20t%20(not%20rescaled%20by%20k)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_bad.set_ylabel(r%22%24%5Ctheta%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_bad.set_title(%22Wrong%20scale%3A%20no%20collapse%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_bad.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20ax_bad.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig_bad.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig_bad%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**What%20do%20you%20notice%3F**%20The%20curves%20do%20**not**%20collapse%20%E2%80%94%20they%20still%20look%20distinct.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Choosing%20%24%5Ctau%20%3D%201%24%20second%20is%20not%20a%20natural%20scale%20for%20the%20problem%3B%20%24%5Ctau%20%3D%201%2Fk%24%20is%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20because%20it%20is%20the%20timescale%20on%20which%20the%20solution%20actually%20changes.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A