Week 1 Lab — Your first models

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Week%201%20Lab%20%E2%80%94%20Your%20first%20models%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%201%20lab%3A%20your%20first%20models%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%0A%20%20%20%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20has%20two%20kinds%20of%20cell%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Text%20cells**%20(like%20this%20one)%20contain%20explanations%20and%20tasks%20written%20in%20Markdown.%0A%20%20%20%20%20%20Double-click%20any%20text%20cell%20to%20edit%20it%3B%20press%20**Ctrl%2BEnter**%20to%20render.%0A%20%20%20%20-%20**Code%20cells**%20(grey%20background)%20contain%20Python.%20%20Press%20**Ctrl%2BEnter**%20(or%0A%20%20%20%20%20%20**Shift%2BEnter**)%20to%20run%20a%20cell%20and%20see%20its%20output%20immediately%20below.%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20code%20cell%20has%20a%20placeholder%20value%20(%600.0%60%20or%20%60np.zeros_like(...)%60)%2C%20replace%20it%0A%20%20%20%20with%20the%20correct%20expression%20and%20run%20the%20cell.%20%20Everything%20that%20depends%20on%20your%20result%0A%20%20%20%20will%20update%20automatically.%0A%0A%20%20%20%20Errors%20are%20normal%20%E2%80%94%20read%20the%20message%2C%20fix%20the%20line%2C%20run%20again.%20%20Ask%20a%20demonstrator%0A%20%20%20%20if%20you%20are%20stuck%20for%20more%20than%20a%20few%20minutes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%200%20%E2%80%94%20writing%20in%20Markdown%0A%0A%20%20%20%20Text%20cells%20use%20**Markdown**%3A%20a%20lightweight%20way%20to%20write%20formatted%20text%20and%20maths.%0A%20%20%20%20The%20maths%20notation%20is%20**LaTeX**%20%E2%80%94%20the%20same%20as%20in%20the%20printed%20lecture%20notes.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20What%20you%20type%20%7C%20What%20you%20see%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60**bold**%60%20%7C%20**bold**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60*italic*%60%20%7C%20*italic*%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60%23%23%20Heading%60%20%7C%20a%20section%20heading%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60%24N_%7Bn%2B1%7D%24%60%20%7C%20%24N_%7Bn%2B1%7D%24%20(subscript)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60%24e%5E%7Brt%7D%24%60%20%7C%20%24e%5E%7Brt%7D%24%20(superscript)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60%24%5Cfrac%7BdN%7D%7Bdt%7D%24%60%20%7C%20%24%5Cfrac%7BdN%7D%7Bdt%7D%24%20(fraction)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60%24%5Calpha%2C%5C%2C%5Cbeta%2C%5C%2C%5Ctheta%24%60%20%7C%20%24%5Calpha%2C%5C%2C%5Cbeta%2C%5C%2C%5Ctheta%24%20(Greek%20letters)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60%5C%5BN_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20R%5C%2CN_n%5C%5D%60%20%7C%20a%20centred%20display%20equation%20on%20its%20own%20line%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%20Double-click%20the%20cell%20below%20and%20fill%20in%3A%0A%20%20%20%201.%20A%20%60%23%23%60%20heading%20with%20your%20name.%0A%20%20%20%202.%20The%20geometric%20growth%20rule%20%24N_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20R%5C%2CN_n%24%20as%20a%20display%20equation%20(%60%5C%5B...%5C%5D%60).%0A%20%20%20%203.%20One%20sentence%20in%20**bold**%20describing%20what%20you%20hope%20to%20get%20out%20of%20today.%0A%0A%20%20%20%20Press%20**Ctrl%2BEnter**%20to%20render%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Your%20name%20here%0A%0A%20%20%20%20%5C%5BN_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%3F%3F%3F%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20**Write%20one%20sentence%20here%20in%20bold.**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20tools%3A%20NumPy%20and%20Matplotlib%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20code%20cell%20imports%20two%20libraries%3A%0A%0A%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20Think%20of%20them%20as%20toolboxes.%20%20**NumPy**%20(%60np%60)%20provides%20arrays%20and%20mathematical%0A%20%20%20%20functions%3B%20**Matplotlib**%20(%60plt%60)%20produces%20plots.%0A%0A%20%20%20%20The%20key%20idea%20in%20NumPy%20is%20that%20operations%20work%20on%20**whole%20arrays%20at%20once**.%0A%20%20%20%20If%20%60t%60%20is%20an%20array%20of%20200%20time%20values%2C%20then%20%60np.exp(r%20*%20t)%60%20computes%20%24e%5E%7Brt%7D%24%0A%20%20%20%20at%20all%20200%20points%20simultaneously%20%E2%80%94%20no%20loop%20needed.%20%20This%20is%20called%20*vectorisation*%0A%20%20%20%20and%20is%20why%20scientific%20Python%20code%20rarely%20has%20explicit%20loops%20over%20data.%0A%0A%20%20%20%20Functions%20you%20will%20use%20today%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Call%20%7C%20What%20it%20does%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60np.linspace(a%2C%20b%2C%20n)%60%20%7C%20%24n%24%20evenly%20spaced%20values%20from%20%24a%24%20to%20%24b%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60np.arange(n)%60%20%7C%20integers%20%240%2C%201%2C%20%5Cldots%2C%20n-1%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60np.zeros(n)%60%20%7C%20array%20of%20%24n%24%20zeros%20(used%20to%20pre-allocate%20before%20a%20loop)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60np.exp(x)%60%20%7C%20%24e%5Ex%24%2C%20element-wise%20if%20%60x%60%20is%20an%20array%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%60np.log(x)%60%20%7C%20natural%20logarithm%2C%20element-wise%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Looking%20up%20documentation.**%20%20Run%20%60help(np.linspace)%60%20in%20any%20code%20cell%20to%20read%0A%20%20%20%20the%20full%20documentation%20for%20a%20function.%20%20Try%20replacing%20%60np.linspace%60%20with%0A%20%20%20%20%60np.zeros%60%20or%20%60np.exp%60%20to%20look%20those%20up%20too.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20help(np.linspace)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%20%E2%80%94%20plotting%20an%20exponential%0A%0A%20%20%20%20The%20exponential%20model%20%24N(t)%20%3D%20N_0%5C%2Ce%5E%7Brt%7D%24%20describes%20a%20population%20growing%0A%20%20%20%20(or%20decaying)%20at%20a%20constant%20per-capita%20rate%20%24r%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20cell%20below%20is%20already%20complete%20%E2%80%94%20run%20it%20first%20to%20see%20what%20it%20produces.%0A%0A%20%20%20%201.%20Change%20%24r%24%20to%20%24-0.3%24%20and%20run%20again.%20%20What%20changes%3F%0A%20%20%20%202.%20Change%20%24N_0%24%20to%20%24500%24%20and%20run%20again.%0A%20%20%20%203.%20What%20value%20of%20%24r%24%20keeps%20the%20population%20exactly%20constant%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20N0%20%3D%20100%0A%20%20%20%20r%20%3D%200.3%0A%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.linspace(0%2C%2010%2C%20200)%0A%20%20%20%20N%20%3D%20N0%20*%20np.exp(r%20*%20t)%0A%0A%20%20%20%20fig1%2C%20ax1%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20ax1.plot(t%2C%20N%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20ax1.set_xlabel(%22Time%20%24t%24%22)%0A%20%20%20%20ax1.set_ylabel(%22Population%20%24N(t)%24%22)%0A%20%20%20%20ax1.set_title(%22Exponential%20model%22)%0A%20%20%20%20ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig1%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%20%E2%80%94%20iterating%20a%20difference%20equation%0A%0A%20%20%20%20Instead%20of%20a%20closed%20formula%2C%20we%20can%20build%20a%20sequence%20step%20by%20step.%20%20The%20geometric%0A%20%20%20%20growth%20rule%20is%0A%20%20%20%20%5C%5BN_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20R%5C%2CN_n.%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20The%20code%20below%20sets%20up%20an%20array%20and%20fills%20it%20in%20with%20a%20%60for%60%20loop.%20%20One%20line%20is%0A%20%20%20%20missing.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%0A%20%20%20%201.%20Replace%20%600.0%60%20on%20the%20marked%20line%20with%20the%20iteration%20rule.%20%20Use%20%60R%60%20and%20%60N_d%5Bn%5D%60.%0A%20%20%20%202.%20Run%20the%20cell.%20%20The%20plot%20below%20will%20update%20automatically.%0A%20%20%20%203.%20Try%20%60R%20%3D%200.7%60%2C%20then%20%60R%20%3D%201.0%60%2C%20then%20%60R%20%3D%202.5%60.%20%20Describe%20what%20you%20observe%20each%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20R%20%3D%201.35%20%20%20%20%20%20%23%20try%200.7%2C%201.0%2C%202.5%0A%20%20%20%20N0_d%20%3D%20100%0A%20%20%20%20steps%20%3D%2020%0A%0A%20%20%20%20N_d%20%3D%20np.zeros(steps%20%2B%201)%0A%20%20%20%20N_d%5B0%5D%20%3D%20N0_d%0A%20%20%20%20for%20n%20in%20range(steps)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_d%5Bn%20%2B%201%5D%20%3D%200.0%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%200.0%20with%20R%20*%20N_d%5Bn%5D%0A%20%20%20%20N_d%0A%20%20%20%20return%20N_d%2C%20R%2C%20steps%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(N_d%2C%20R%2C%20np%2C%20plt%2C%20steps)%3A%0A%20%20%20%20_fig2%2C%20_ax2%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax2.stem(np.arange(steps%20%2B%201)%2C%20N_d%2C%20linefmt%3D%22%231a5276%22%2C%20markerfmt%3D%22C0o%22%2C%20basefmt%3D%22k-%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22Generation%20%24n%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22Population%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(f%22Geometric%20growth%20%20(%24R%20%3D%20%7BR%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%20%E2%80%94%20the%20logistic%20map%0A%0A%20%20%20%20The%20geometric%20model%20grows%20without%20bound%20when%20%24R%20%3E%201%24.%20%20A%20carrying%20capacity%20%24K%24%0A%20%20%20%20adds%20a%20braking%20factor%3A%0A%20%20%20%20%5C%5BN_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20R%5C%2CN_n%5C!%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7BN_n%7D%7BK%7D%5Cright).%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20When%20%24N_n%20%5Cll%20K%24%20this%20behaves%20like%20geometric%20growth.%20%20When%20%24N_n%24%20approaches%20%24K%24%0A%20%20%20%20the%20factor%20%24(1%20-%20N_n%2FK)%24%20suppresses%20growth.%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%0A%20%20%20%201.%20Replace%20%600.0%60%20on%20the%20marked%20line%20with%20the%20logistic%20rule.%0A%20%20%20%20%20%20%20Use%20%60R_log%60%2C%20%60N_log%5Bn_log%5D%60%2C%20and%20%60K%60.%0A%20%20%20%202.%20Run%20for%20%60R_log%20%3D%202.0%60.%20%20Describe%20the%20long-term%20behaviour.%0A%20%20%20%203.%20Change%20%60R_log%60%20to%20%603.2%60%2C%20then%20%603.8%60.%20%20What%20happens%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20R_log%20%3D%202.0%20%20%20%20%23%20try%203.2%2C%20then%203.8%0A%20%20%20%20K%20%3D%20100%0A%20%20%20%20N0_log%20%3D%2010%0A%20%20%20%20steps_log%20%3D%2060%0A%0A%20%20%20%20N_log%20%3D%20np.zeros(steps_log%20%2B%201)%0A%20%20%20%20N_log%5B0%5D%20%3D%20N0_log%0A%20%20%20%20for%20n_log%20in%20range(steps_log)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_log%5Bn_log%20%2B%201%5D%20%3D%200.0%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%200.0%20with%20the%20logistic%20rule%0A%20%20%20%20N_log%0A%20%20%20%20return%20K%2C%20N_log%2C%20R_log%2C%20steps_log%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(K%2C%20N_log%2C%20R_log%2C%20np%2C%20plt%2C%20steps_log)%3A%0A%20%20%20%20_fig3%2C%20_ax3%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax3.stem(np.arange(steps_log%20%2B%201)%2C%20N_log%2C%20linefmt%3D%22%231a5276%22%2C%20markerfmt%3D%22C0.%22%2C%20basefmt%3D%22k-%22)%0A%20%20%20%20_ax3.axhline(K%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3Df%22%24K%20%3D%20%7BK%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax3.set_xlabel(%22Year%20%24n%24%22)%0A%20%20%20%20_ax3.set_ylabel(%22Population%22)%0A%20%20%20%20_ax3.set_title(f%22Logistic%20map%20%20(%24R%20%3D%20%7BR_log%7D%24%2C%20%20%24K%20%3D%20%7BK%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20_ax3.legend()%0A%20%20%20%20_ax3.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig3%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Your%20observations**%20(double-click%20to%20edit%20this%20cell)%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24R%20%3D%202.0%24%3A%20*write%20one%20sentence%20here*%0A%20%20%20%20-%20%24R%20%3D%203.2%24%3A%20*write%20one%20sentence%20here*%0A%20%20%20%20-%20%24R%20%3D%203.8%24%3A%20*write%20one%20sentence%20here*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Extension%20%E2%80%94%20Newton's%20law%20of%20cooling%0A%0A%20%20%20%20A%20cup%20of%20coffee%20starts%20at%20%2490%C2%B0%24C%20in%20a%20room%20at%20%2420%C2%B0%24C.%20%20Newton's%20law%20of%20cooling%0A%20%20%20%20gives%20the%20temperature%20at%20time%20%24t%24%20(minutes)%3A%0A%20%20%20%20%5C%5BT(t)%20%3D%20T_%5Cinfty%20%2B%20(T_0%20-%20T_%5Cinfty)%5C%2Ce%5E%7B-kt%7D.%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20**Task.**%0A%20%20%20%201.%20Replace%20%60np.zeros_like(t_cool)%60%20with%20the%20formula%20for%20%24T(t)%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20Use%20%60T0_cool%60%2C%20%60Tinf_cool%60%2C%20%60k_cool%60%2C%20%60t_cool%60%2C%20and%20%60np.exp(...)%60.%0A%20%20%20%202.%20Run%20the%20cell.%20%20At%20roughly%20what%20time%20does%20the%20coffee%20reach%20%2460%C2%B0%24C%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20T0_cool%20%20%20%3D%2090.0%20%20%20%23%20initial%20temperature%20(%C2%B0C)%0A%20%20%20%20Tinf_cool%20%3D%2020.0%20%20%20%23%20room%20temperature%20(%C2%B0C)%0A%20%20%20%20k_cool%20%20%20%20%3D%200.05%20%20%20%23%20cooling%20rate%20(min%E2%81%BB%C2%B9)%0A%20%20%20%20return%20T0_cool%2C%20Tinf_cool%2C%20k_cool%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20t_cool%20%3D%20np.linspace(0%2C%2060%2C%20300)%0A%20%20%20%20T_cool%20%3D%20np.zeros_like(t_cool)%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%20with%20the%20formula%0A%20%20%20%20T_cool%0A%20%20%20%20return%20T_cool%2C%20t_cool%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(T0_cool%2C%20T_cool%2C%20Tinf_cool%2C%20k_cool%2C%20plt%2C%20t_cool)%3A%0A%20%20%20%20_fig4%2C%20_ax4%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax4.plot(t_cool%2C%20T_cool%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax4.axhline(Tinf_cool%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22Room%20temperature%20%7BTinf_cool%7D%C2%B0C%22)%0A%20%20%20%20_ax4.set_xlabel(%22Time%20(min)%22)%0A%20%20%20%20_ax4.set_ylabel(%22Temperature%20(%C2%B0C)%22)%0A%20%20%20%20_ax4.set_title(f%22Newton's%20law%20of%20cooling%20%20(%24k%20%3D%20%7Bk_cool%7D%24%20min%E2%81%BB%C2%B9%2C%20%20%24T_0%20%3D%20%7BT0_cool%7D%24%C2%B0C)%22)%0A%20%20%20%20_ax4.legend()%0A%20%20%20%20_ax4.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig4%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A