Week 1 Lab — Exponential Models

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Week%201%20Lab%20%E2%80%94%20Exponential%20Models%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Week%201%20computer%20lab%3A%20exponential%20models%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Work%20through%20this%20notebook%20at%20your%20own%20pace.%20Fill%20in%20the%20blanks%20marked%20%60%3F%3F%3F%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20run%20each%20cell%20to%20check%20your%20answers.%20Ask%20a%20demonstrator%20if%20you%20get%20stuck.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20By%20the%20end%20you%20should%20be%20able%20to%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20plot%20an%20exponential%20model%20and%20interpret%20its%20parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20solve%20an%20ODE%20numerically%20with%20%60solve_ivp%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20estimate%20a%20growth%20rate%20from%20two%20data%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%2C%20solve_ivp%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%3A%20plotting%20an%20exponential%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20formula%20for%20exponential%20growth%20is%20%24N(t)%20%3D%20N_0%5C%2C%20e%5E%7Brt%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20complete%20the%20code%20below%20to%20plot%20%24N(t)%24%20for%20%24N_0%20%3D%20200%24%2C%20%24r%20%3D%200.5%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20over%20the%20range%20%24t%20%5Cin%20%5B0%2C%2010%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Replace%20each%20%60%3F%3F%3F%60%20with%20the%20correct%20value%20or%20expression.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Your%20code%20here%20---%0A%20%20%20%20N0_ex1%20%3D%20200%20%20%20%20%20%20%20%23%20initial%20population%0A%20%20%20%20r_ex1%20%3D%200.5%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20growth%20rate%20(per%20hour)%0A%20%20%20%20t_ex1%20%3D%20np.linspace(0%2C%2010%2C%20200)%20%20%20%23%20time%20array%0A%0A%20%20%20%20N_ex1%20%3D%20N0_ex1%20*%20np.exp(r_ex1%20*%20t_ex1)%20%20%20%23%20%E2%86%90%20replace%20%3F%3F%3F%20with%20the%20formula%0A%0A%20%20%20%20fig_ex1%2C%20ax_ex1%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20ax_ex1.plot(t_ex1%2C%20N_ex1%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20ax_ex1.set_xlabel(%22Time%20(hours)%22)%0A%20%20%20%20ax_ex1.set_ylabel(%22N(t)%22)%0A%20%20%20%20ax_ex1.set_title(%22My%20first%20exponential%20model%22)%0A%20%20%20%20ax_ex1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig_ex1%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%3A%20doubling%20time%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20doubling%20time%20is%20the%20time%20%24t_d%24%20when%20%24N(t_d)%20%3D%202%20N_0%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20From%20%242N_0%20%3D%20N_0%20e%5E%7Br%20t_d%7D%24%20we%20get%20%24t_d%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cln%202%7D%7Br%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20complete%20the%20function%20below%2C%20then%20check%20it%20gives%20a%20sensible%20answer.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20doubling_time(r)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20replace%20%3F%3F%3F%20with%20the%20correct%20formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.log(2)%20%2F%20r%20%20%20%23%20%E2%86%90%20your%20formula%20here%0A%0A%20%20%20%20%23%20Test%20it%3A%0A%20%20%20%20print(f%22For%20r%20%3D%200.5%2C%20doubling%20time%20%3D%20%7Bdoubling_time(0.5)%3A.2f%7D%20hours%22)%0A%20%20%20%20print(f%22For%20r%20%3D%20ln(2)%20%E2%89%88%200.693%2C%20doubling%20time%20%3D%20%7Bdoubling_time(np.log(2))%3A.2f%7D%20hours%20%20(should%20be%201.0)%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%3A%20estimating%20the%20growth%20rate%20from%20data%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20You%20observe%20a%20colony%20at%20two%20times%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20At%20%24t%20%3D%200%24%3A%20%24N_0%20%3D%2050%24%20cells%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20At%20%24t%20%3D%203%24%20hours%3A%20%24N%20%3D%20400%24%20cells%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20From%20%24N(t)%20%3D%20N_0%20e%5E%7Brt%7D%24%20we%20can%20rearrange%3A%20%24r%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cln(N%2FN_0)%7D%7Bt%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20write%20a%20one-line%20calculation%20to%20find%20%24r%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20N_obs_0%20%3D%2050%0A%20%20%20%20N_obs_3%20%3D%20400%0A%20%20%20%20t_obs%20%3D%203%0A%0A%20%20%20%20r_estimated%20%3D%20np.log(N_obs_3%20%2F%20N_obs_0)%20%2F%20t_obs%20%20%20%23%20%E2%86%90%20your%20formula%0A%0A%20%20%20%20print(f%22Estimated%20growth%20rate%3A%20r%20%3D%20%7Br_estimated%3A.3f%7D%20per%20hour%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Doubling%20time%3A%20%7Bnp.log(2)%20%2F%20r_estimated%3A.2f%7D%20hours%22)%0A%20%20%20%20return%20N_obs_0%2C%20r_estimated%2C%20t_obs%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%3A%20solving%20numerically%20with%20solve_ivp%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Now%20solve%20%24%5Cdfrac%7BdN%7D%7Bdt%7D%20%3D%20r%20N%24%2C%20%24N(0)%20%3D%20N_0%24%20**numerically**%20using%20%60solve_ivp%60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20compare%20the%20result%20with%20the%20analytic%20formula.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20fill%20in%20the%20ODE%20function%20and%20the%20initial%20condition.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_obs_0%2C%20np%2C%20plt%2C%20r_estimated%2C%20solve_ivp%2C%20t_obs)%3A%0A%20%20%20%20r_lab%20%3D%20r_estimated%0A%20%20%20%20N0_lab%20%3D%20N_obs_0%0A%0A%20%20%20%20def%20my_ode(t_var%2C%20N_var)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20return%20the%20right-hand%20side%20of%20dN%2Fdt%20%3D%20r*N%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20r_lab%20*%20N_var%20%20%20%23%20%E2%86%90%20your%20expression%0A%0A%20%20%20%20t_span_lab%20%3D%20%5B0%2C%202%20*%20t_obs%5D%0A%20%20%20%20t_eval_lab%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20t_obs%2C%20200)%0A%0A%20%20%20%20sol_lab%20%3D%20solve_ivp(my_ode%2C%20t_span%3Dt_span_lab%2C%20y0%3D%5BN0_lab%5D%2C%20t_eval%3Dt_eval_lab)%0A%0A%20%20%20%20fig_lab%2C%20ax_lab%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20ax_lab.plot(t_eval_lab%2C%20N0_lab%20*%20np.exp(r_lab%20*%20t_eval_lab)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Analytic%22%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20ax_lab.plot(sol_lab.t%2C%20sol_lab.y%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22solve_ivp%22%2C%20color%3D%22tomato%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20ax_lab.scatter(%5B0%2C%20t_obs%5D%2C%20%5BN_obs_0%2C%20400%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%20zorder%3D5%2C%20label%3D%22Observed%20data%22)%0A%20%20%20%20ax_lab.set_xlabel(%22Time%20(hours)%22)%0A%20%20%20%20ax_lab.set_ylabel(%22N(t)%22)%0A%20%20%20%20ax_lab.set_title(%22Analytic%20vs%20numeric%2C%20fitted%20to%20data%22)%0A%20%20%20%20ax_lab.legend()%0A%20%20%20%20ax_lab.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig_lab%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exercise%205%20(extension)%3A%20radioactive%20decay%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Carbon-14%20has%20a%20half-life%20of%205730%20years.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20An%20archaeological%20sample%20contains%2072%25%20of%20the%20original%20carbon-14%20content.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Task**%3A%20estimate%20the%20age%20of%20the%20sample.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*Hint*%3A%20find%20%24r%24%20from%20the%20half-life%2C%20then%20solve%20%24N(t)%2FN_0%20%3D%200.72%24%20for%20%24t%24.*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20half_life%20%3D%205730%20%20%23%20years%0A%20%20%20%20fraction_remaining%20%3D%200.72%0A%0A%20%20%20%20r_carbon%20%3D%20-np.log(2)%20%2F%20half_life%20%20%20%23%20decay%20rate%20(negative)%0A%20%20%20%20age%20%3D%20np.log(fraction_remaining)%20%2F%20r_carbon%0A%0A%20%20%20%20print(f%22Decay%20rate%3A%20r%20%3D%20%7Br_carbon%3A.6f%7D%20per%20year%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Estimated%20age%3A%20%7Bage%3A.0f%7D%20years%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A