import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Week%203%20%E2%80%94%20Buckingham%20%CE%A0-theorem%20and%20the%20Dimension%20Matrix%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%203%3A%20Buckingham%20%CE%A0-theorem%20and%20the%20dimension%20matrix%0A%20%20%20%20%23%23%20Computation%20lecture%0A%0A%20%20%20%20**MATH4120%20%E2%80%94%20Mathematical%20Modelling%20and%20Programming**%0A%20%20%20%20Lancaster%20University%2C%202026%E2%80%9327%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20The%20key%20insight%20of%20this%20chapter%3A%20finding%20dimensionless%20groups%20is%20a%20**linear%20algebra%20problem**.%0A%20%20%20%20The%20%CE%A0-groups%20live%20in%20the%20null%20space%20of%20the%20dimension%20matrix%2C%20and%20SciPy%20finds%20that%20null%20space%0A%20%20%20%20in%20one%20line.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.linalg%20import%20null_space%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20null_space%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20The%20pendulum%0A%0A%20%20%20%20A%20simple%20pendulum%20of%20length%20%24l%24%20swings%20under%20gravity%20%24g%24.%20%20Newton's%20second%20law%20gives%0A%20%20%20%20%24ml%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%3D%20-mg%5Csin%5Ctheta%24%2C%20and%20the%20mass%20%24m%24%20cancels%20immediately.%0A%20%20%20%20The%20period%20%24%5Ctau%24%20therefore%20depends%20only%20on%20%24l%24%20and%20%24g%24.%0A%0A%20%20%20%20Three%20parameters%2C%20two%20independent%20dimensions%20(L%20and%20T)%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Cccc%7D%0A%20%20%20%20%20%26%20%5Ctau%20%26%20l%20%26%20g%20%5C%5C%20%5Chline%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7BL%7D%20%26%200%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7BT%7D%20%26%201%20%26%200%20%26%20-2%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Buckingham%3A%20%24n%20%3D%203%24%2C%20%24k%20%3D%202%24%20%24%5CRightarrow%24%20%24m%20%3D%201%24%20dimensionless%20group.%0A%0A%20%20%20%20The%20**dimension%20matrix**%20is%20this%20table.%20%20A%20dimensionless%20combination%20%24%5CPi%20%3D%20%5Ctau%5E%7Bk_1%7D%20l%5E%7Bk_2%7D%20g%5E%7Bk_3%7D%24%0A%20%20%20%20requires%20%24D%5Cmathbf%7Bk%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7B0%7D%24%2C%20so%20the%20exponent%20vector%20%24%5Cmathbf%7Bk%7D%24%20lies%20in%20the%20null%20space%20of%20%24D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20null_space)%3A%0A%20%20%20%20%23%20rows%20%3D%20%5BL%2C%20T%5D%2C%20%20columns%20%3D%20%5Btau%2C%20l%2C%20g%5D%0A%20%20%20%20D_pend%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20%201%2C%20%201%5D%2C%20%20%20%23%20L%20exponents%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1%2C%20%200%2C%20-2%5D%2C%20%20%20%23%20T%20exponents%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20ns_pend%20%3D%20null_space(D_pend)%0A%20%20%20%20v_pend%20%20%3D%20ns_pend%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20v_pend%20%20%3D%20v_pend%20%2F%20v_pend%5B0%5D%20%20%20%20%23%20normalise%20so%20tau%20exponent%20%3D%201%0A%20%20%20%20np.round(v_pend%2C%203)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20output%20%60%5B1.%2C%20-0.5%2C%200.5%5D%60%20gives%20the%20exponents%20%24%5Bk_%5Ctau%2C%5C%2C%20k_l%2C%5C%2C%20k_g%5D%24%3A%0A%20%20%20%20%5C%5B%5CPi%20%3D%20%5Ctau%5E%7B1%7D%20%5Ccdot%20l%5E%7B-1%2F2%7D%20%5Ccdot%20g%5E%7B1%2F2%7D%20%3D%20%5Ctau%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%7D.%5C%5D%0A%20%20%20%20Rearranging%3A%0A%20%20%20%20%5C%5B%5Ctau%20%3D%20%5CPi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bl%7D%7Bg%7D%7D.%5C%5D%0A%20%20%20%20Dimensional%20analysis%20gives%20the%20functional%20form%20up%20to%20the%20constant%20%24%5CPi%24.%0A%20%20%20%20Solving%20the%20small-angle%20ODE%20gives%20%24%5CPi%20%3D%202%5Cpi%24%3B%20a%20small%20correction%20applies%20for%20large%20amplitudes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Solution%20collapse%20across%20planets%0A%0A%20%20%20%20On%20Earth%2C%20Moon%2C%20and%20Mars%2C%20%24g%24%20takes%20different%20values%2C%20so%20the%20dimensional%20period%20%24%5Ctau(l)%24%0A%20%20%20%20is%20a%20different%20curve%20on%20each%20planet.%20%20But%20%24%5CPi%20%3D%20%5Ctau%5Csqrt%7Bg%2Fl%7D%24%20is%20always%20%242%5Cpi%24%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20the%20same%20constant%20everywhere.%20%20This%20is%20the%20same%20solution%20collapse%20idea%20as%20in%20Week%202%2C%0A%20%20%20%20now%20derived%20purely%20from%20the%20dimension%20matrix.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20l_arr_pend%20%3D%20np.linspace(0.1%2C%203.0%2C%20300)%0A%20%20%20%20planets_lec%20%3D%20%7B%22Earth%22%3A%209.81%2C%20%22Moon%22%3A%201.62%2C%20%22Mars%22%3A%203.71%7D%0A%20%20%20%20colors_planets%20%3D%20%5B%22%231a5276%22%2C%20%22tomato%22%2C%20%22%23117a65%22%5D%0A%0A%20%20%20%20fig_pend%2C%20(ax_dim_p%2C%20ax_nd_p)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20for%20(planet_name%2C%20g_planet)%2C%20col_planet%20in%20zip(planets_lec.items()%2C%20colors_planets)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_pend%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20np.sqrt(l_arr_pend%20%2F%20g_planet)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pi_pend%20%20%3D%20tau_pend%20*%20np.sqrt(g_planet%20%2F%20l_arr_pend)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_dim_p.plot(l_arr_pend%2C%20tau_pend%2C%20color%3Dcol_planet%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dplanet_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_nd_p.plot(l_arr_pend%2C%20pi_pend%2C%20%20color%3Dcol_planet%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dplanet_name%2C%20alpha%3D0.85)%0A%0A%20%20%20%20ax_nd_p.axhline(2%20*%20np.pi%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22%242%5Cpi%24%22)%0A%0A%20%20%20%20ax_dim_p.set_xlabel(%22Length%20%24l%24%20(m)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_dim_p.set_ylabel(%22Period%20%24%5C%5Ctau%24%20(s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_dim_p.set_title(%22Dimensional%3A%20each%20planet%20a%20different%20curve%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_dim_p.legend(fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax_dim_p.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20ax_nd_p.set_xlabel(%22Length%20%24l%24%20(m)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_nd_p.set_ylabel(r%22%24%5CPi%20%3D%20%5Ctau%5Csqrt%7Bg%2Fl%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_nd_p.set_title(r%22Nondimensional%3A%20all%20planets%20collapse%20to%20%242%5Cpi%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_nd_p.legend(fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax_nd_p.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20fig_pend.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig_pend%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Pendulum%20animation%0A%0A%20%20%20%20Drag%20the%20slider%20to%20move%20forward%20in%20time.%20%20Both%20pendulums%20start%20at%20the%20same%20angle%20(%2430%C2%B0%24)%0A%20%20%20%20but%20the%20Moon's%20weaker%20gravity%20means%20it%20swings%20more%20slowly%20%E2%80%94%20a%20longer%20dimensional%20period%20%24%5Ctau%24.%0A%20%20%20%20In%20nondimensional%20time%20%24s%20%3D%20t%2F%5Ctau%24%20both%20are%20at%20exactly%20the%20same%20phase.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20t_pend_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%2010.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%20label%3D%22Time%20%24t%24%20(s)%22)%0A%20%20%20%20t_pend_slider%0A%20%20%20%20return%20(t_pend_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20t_pend_slider)%3A%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20t_pend_slider.value%0A%20%20%20%20_l%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_theta0%20%3D%20np.pi%20%2F%206%20%20%20%23%2030%C2%B0%0A%20%20%20%20_planets_anim%20%3D%20%5B(%22Earth%22%2C%209.81%2C%20%22%231a5276%22)%2C%20(%22Moon%22%2C%201.62%2C%20%22tomato%22)%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig_sw%2C%20_axes_sw%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(8%2C%205))%0A%20%20%20%20for%20_ax_sw%2C%20(_name_sw%2C%20_g_sw%2C%20_col_sw)%20in%20zip(_axes_sw%2C%20_planets_anim)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_theta_sw%20%3D%20_theta0%20*%20np.cos(np.sqrt(_g_sw%20%2F%20_l)%20*%20_t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sw%20%3D%20_l%20*%20np.sin(_theta_sw)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_sw%20%3D%20-_l%20*%20np.cos(_theta_sw)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.plot(%5B0%2C%20_x_sw%5D%2C%20%5B0%2C%20_y_sw%5D%2C%20color%3D_col_sw%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.plot(_x_sw%2C%20_y_sw%2C%20%22o%22%2C%20color%3D_col_sw%2C%20ms%3D22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.plot(0%2C%200%2C%20%22k.%22%2C%20ms%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.set_xlim(-1.3%2C%201.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.set_ylim(-1.3%2C%200.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tau_sw%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20np.sqrt(_l%20%2F%20_g_sw)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_sw.set_title(rf%22%7B_name_sw%7D%20%20(%24g%20%3D%20%7B_g_sw%7D%24%2C%20%20%24%5Ctau%20%3D%20%7B_tau_sw%3A.2f%7D%24%20s)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_fig_sw.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_sw%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Nuclear%20explosion%20%E2%80%94%20the%20Sedov%E2%80%93Taylor%20blast%20wave%0A%0A%20%20%20%20In%20July%201945%20the%20Trinity%20test%20detonated%20the%20first%20atomic%20bomb.%20%20The%20photographs%20were%0A%20%20%20%20declassified%20in%201947.%20%20In%201950%2C%20G.%5C%20I.%5C%20Taylor%20published%20a%20paper%20showing%20that%20dimensional%0A%20%20%20%20analysis%20alone%20%E2%80%94%20applied%20to%20five%20frames%20of%20film%20%E2%80%94%20could%20determine%20the%20bomb's%20yield%20to%20within%0A%20%20%20%203%5C%25.%20%20It%20caused%20a%20security%20scandal%3A%20the%20yield%20was%20still%20classified.%0A%0A%20%20%20%20**Governing%20parameters%3A**%20energy%20released%20%24E%24%2C%20ambient%20air%20density%20%24%5Crho%24%2C%20time%20%24t%24%2C%20blast%0A%20%20%20%20radius%20%24R%24.%20%20Their%20dimension%20matrix%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Ccccc%7D%0A%20%20%20%20%20%26%20E%20%26%20%5Crho%20%26%20t%20%26%20R%20%5C%5C%20%5Chline%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7BM%7D%20%26%20%201%20%26%20%201%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7BL%7D%20%26%20%202%20%26%20-3%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7BT%7D%20%26%20-2%20%26%20%200%20%26%201%20%26%200%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%204%24%2C%20%24k%20%3D%203%24%20%24%5CRightarrow%24%20%24m%20%3D%201%24%20dimensionless%20group.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20null_space)%3A%0A%20%20%20%20%23%20rows%20%3D%20%5BM%2C%20L%2C%20T%5D%2C%20%20columns%20%3D%20%5BE%2C%20rho%2C%20t%2C%20R%5D%0A%20%20%20%20D_sed%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%201%2C%20%201%2C%20%200%2C%20%200%5D%2C%20%20%20%23%20M%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%202%2C%20-3%2C%20%200%2C%20%201%5D%2C%20%20%20%23%20L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B-2%2C%20%200%2C%20%201%2C%20%200%5D%2C%20%20%20%23%20T%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20ns_sed%20%3D%20null_space(D_sed)%0A%20%20%20%20v_sed%20%20%3D%20ns_sed%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20v_sed%20%20%3D%20v_sed%20%2F%20v_sed%5B3%5D%20%20%20%20%23%20normalise%20so%20R%20exponent%20%3D%201%0A%20%20%20%20np.round(v_sed%2C%203)%0A%20%20%20%20return%20(v_sed%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20exponents%20%24%5Bk_E%2C%5C%2C%20k_%5Crho%2C%5C%2C%20k_t%2C%5C%2C%20k_R%5D%24%20are%20%24%5B-1%2F5%2C%5C%2C%201%2F5%2C%5C%2C%20-2%2F5%2C%5C%2C%201%5D%24%2C%20giving%3A%0A%20%20%20%20%5C%5B%5CPi%20%3D%20E%5E%7B-1%2F5%7D%5C%2C%5Crho%5E%7B1%2F5%7D%5C%2Ct%5E%7B-2%2F5%7D%5C%2CR%20%3D%20%5Ctext%7Bconst%7D%2C%5C%5D%0A%20%20%20%20and%20therefore%0A%20%20%20%20%5C%5B%5Cboxed%7BR%20%3D%20%5CPi%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BE%5C%2Ct%5E%7B2%7D%7D%7B%5Crho%7D%5Cright)%5E%7B%5C!1%2F5%7D.%7D%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20**Sedov%E2%80%93Taylor%20law**.%20%20On%20a%20log%E2%80%93log%20plot%2C%20%24R%20%5Cpropto%20t%5E%7B2%2F5%7D%24%20is%20a%20straight%20line%0A%20%20%20%20with%20slope%20%242%2F5%20%3D%200.4%24.%20%20Taylor%20read%20this%20slope%20from%20the%20photographs%2C%20then%20inverted%20the%0A%20%20%20%20formula%20to%20infer%20%24E%20%5Capprox%208.4%20%5Ctimes%2010%5E%7B13%7D%24%20J%20%24%5Capprox%24%2020%20kilotons%20of%20TNT.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20v_sed)%3A%0A%20%20%20%20t_blast%20%20%20%3D%20np.logspace(-4%2C%200%2C%20300)%20%20%20%20%23%20seconds%0A%20%20%20%20E_trinity%20%3D%208.4e13%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Joules%0A%20%20%20%20rho_air%20%20%20%3D%201.2%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20kg%2Fm%C2%B3%0A%20%20%20%20t_exp_sed%20%3D%20-v_sed%5B2%5D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20t%20exponent%20in%20R(t)%2C%20%E2%89%88%202%2F5%0A%0A%20%20%20%20R_blast%20%3D%20(E_trinity%20*%20t_blast**2%20%2F%20rho_air)%20**%200.2%0A%0A%20%20%20%20fig_sed%2C%20ax_sed%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204))%0A%20%20%20%20ax_sed.loglog(t_blast%20*%201000%2C%20R_blast%2C%20color%3D%22%231a5276%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24R%20%5Cpropto%20t%5E%7B%7B%7Bt_exp_sed%3A.2f%7D%7D%7D%24%20%20(exponent%20from%20null%20space)%22)%0A%20%20%20%20ax_sed.set_xlabel(%22Time%20%24t%24%20(ms)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_sed.set_ylabel(%22Blast%20radius%20%24R%24%20(m)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_sed.set_title(%22Sedov%E2%80%93Taylor%20blast%20wave%20%E2%80%94%20Trinity%20test%20parameters%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_sed.legend(fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax_sed.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20fig_sed.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig_sed%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**dimension%20matrix**%20has%20one%20row%20per%20base%20dimension%20and%20one%20column%20per%20parameter%0A%20%20%20%20-%20The%20**null%20space**%20of%20%24D%24%20gives%20the%20exponent%20vectors%20of%20all%20dimensionless%20combinations%0A%20%20%20%20-%20%60scipy.linalg.null_space(D)%60%20computes%20this%20in%20one%20call%3B%20normalise%20to%20read%20off%20exponents%0A%20%20%20%20-%20The%20number%20of%20%CE%A0-groups%20equals%20%24n%20-%20%5Cmathrm%7Brank%7D(D)%24%0A%20%20%20%20-%20Dimensional%20analysis%20determines%20the%20functional%20form%20up%20to%20a%20dimensionless%20constant%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20that%20constant%20requires%20experiment%20or%20a%20full%20solution%0A%20%20%20%20-%20On%20a%20**log%E2%80%93log%20plot**%2C%20%24R%20%5Cpropto%20t%5E%5Calpha%24%20is%20a%20straight%20line%20with%20slope%20%24%5Calpha%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A
79f30ff228f1e4848c75f05feb0b688eef11f7302484070bdf5a42b50da5e2c2